[论文解读] Robust Multivariate Nonparametric Tests via Projection-Pursuit
本文通过投影寻踪方法推广Cramér-von Mises统计量，提出无需调参的稳健多变量两样本检验，实现了一致性、极小极大最优性以及高维效率。提出角度距离作为欧氏距离的稳健替代，并将该方法与再生核希尔伯特空间理论相联系。
In this work, we generalize the Cram\'er-von Mises statistic via projection pursuit to obtain robust tests for the multivariate two-sample problem. The proposed tests are consistent against all fixed alternatives, robust to heavy-tailed data and minimax rate optimal. Our test statistics are completely free of tuning parameters and are computationally efficient even in high dimensions. When the dimension tends to infinity, the proposed test is shown to have identical power to that of the existing high-dimensional mean tests under certain location models. As a by-product of our approach, we introduce a new metric called the angular distance which can be thought of as a robust alternative to the Euclidean distance. Using the angular distance, we connect the proposed to the reproducing kernel Hilbert space approach. In addition to the Cram\'er-von Mises statistic, we show that the projection pursuit technique can be used to define robust, multivariate tests in many other problems.
研究动机与目标
- 开发无需调参的稳健、一致的多变量两样本检验。
- 解决现有检验在重尾分布和高维数据下的局限性。
- 通过投影寻踪推广Cramér-von Mises统计量，以提升稳健性和效率。
- 提出角度距离作为多变量检验中欧氏距离的稳健替代。
- 将所提方法与再生核希尔伯特空间框架相联系，以提供理论基础。
提出的方法
- 通过投影寻踪推广Cramér-von Mises统计量，以增强多变量设置下的稳健性和一致性。
- 采用角度距离作为稳健度量，替代检验统计量中的欧氏距离。
- 利用投影寻踪识别能最大化检验统计量的低维投影，确保对所有替代假设的敏感性。
- 推导出完全无调参的检验统计量，从而实现计算效率。
- 建立所提方法与再生核希尔伯特空间方法之间的理论联系。
- 将该框架扩展至Cramér-von Mises统计量以外的其他多变量检验问题。
实验结果
研究问题
- RQ1投影寻踪能否用于构建稳健、无调参的多变量两样本检验，并具备一致功效？
- RQ2与经典方法相比，所提检验在重尾分布下的表现如何？
- RQ3当维度随样本量增长时，检验的渐近行为如何？
- RQ4角度距离能否作为多变量非参数检验中欧氏距离的可行稳健替代？
- RQ5所提方法与再生核希尔伯特空间理论之间存在何种联系？
主要发现
- 所提检验对所有固定替代假设具有一致性，确保能可靠检测分布差异。
- 检验对重尾数据具有稳健性，在轻尾假设偏离时仍保持有效性。
- 检验统计量达到极小极大率最优，在特定替代假设下实现最佳收敛速率。
- 在维度随样本量增长的高维设置下，该检验在位置模型下与现有高维均值检验具有相同的功效。
- 引入角度距离为欧氏距离提供了稳健替代，增强了多变量分析中的稳定性。
- 该方法建立了与再生核希尔伯特空间框架的理论联系，丰富了其方法论基础。
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