[论文解读] Robust numerical methods for local and nonlocal equations of porous medium type. Part I: Theory

Félix del Teso, Jørgen Endal+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 66被引用 5

一句话总结

本文为涉及局部与非局部 Lévy 型算子的一般非线性扩散方程，建立了一个统一且鲁棒的单调有限差分格式理论。在最小假设下，该理论建立了适定性、稳定性、收敛性与紧致性，并证明了即使对于高度不规则的解，收敛性也成立，且收敛至分布解空间中的 $L^1 \cap L^\infty$。

ABSTRACT

We develop the theory for monotone schemes of finite difference type for general nonlinear diffusion equations, $$ \partial_t u-\mathfrak{L}^{\sigma,\mu}[\varphi(u)]=f(x,t) \qquad ext{in}\qquad \mathbb{R}^N imes(0,T), $$ where $\mathfrak{L}^{\sigma,\mu}$ is a general symmetric diffusion operator of L\'evy type and $\varphi$ is merely continuous and non-decreasing. This theory covers strongly degenerate Stefan problems and the full range of porous medium and fast diffusion equations. Examples of diffusion operators $\mathfrak{L}^{\sigma,\mu}$ are the Laplacian $\Delta$, the fractional Laplacian $-(-\Delta)^{\frac\alpha2}$, $\alpha\in(0,2)$, discrete operators, and combinations of these. The observation that finite difference type operators are nonlocal L\'evy operators, allows us to give a unified, compact, and efficient nonlocal theory for both local and nonlocal, linear and nonlinear diffusion equations. The theory includes well-posedness, stability, equicontinuity, compactness, and convergence of the methods under minimal assumptions including assumptions that lead to very irregular solutions. In other words, the schemes we introduce are robust in the sense that they converge under very unfavorable conditions. Such general results are possible because we are able to work in the largest class of weak solutions where uniqueness is known: distributional solutions in $L^1\cap L^\infty$. As a byproduct of our numerical analysis, we obtain a new and general existence result for the original PDE, a result that was previously announced. We also present some numerical tests, but extensive numerical testing is deferred to a companion paper along with a more detailed discussion of the numerical methods included in our theory.

研究动机与目标

• 为适用于局部与非局部扩散方程的单调有限差分格式，发展一个通用且统一的理论。
• 在最小假设下，建立数值格式的收敛性与稳定性，包括对低正则性解的情形。
• 将理论扩展至强退化 Stefan 问题及多孔介质方程与快扩散方程的完整范围。
• 通过数值分析，获得原 PDE 的一个新一般存在性结果作为副产品。
• 为仅具有连续且非减非线性项的方程，奠定鲁棒数值方法的理论基础。

提出的方法

• 将一般扩散方程表述为 $ \partial_t u - \mathfrak{L}^{\sigma,\mu}[\varphi(u)] = f(x,t) $，其中 $ \mathfrak{L}^{\sigma,\mu} $ 为对称 Lévy 型算子。
• 采用与底层 PDE 单调且一致的有限差分格式，确保稳定性与收敛性。
• 在 $ L^1 \cap L^\infty $ 中的分布解空间内工作，这是唯一已知唯一性成立的最大解类。
• 应用非局部分析技术，统一处理局部（如拉普拉斯算子）与非局部（如分数阶拉普拉斯算子）算子。
• 通过线法或子列论证，建立数值解的等连续性与紧致性，以证明收敛性。
• 利用 Lévy 算子的结构，统一处理离散、连续与混合扩散算子的分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为局部与非局部非线性扩散方程开发一个单一且鲁棒的数值框架，且假设条件尽可能少？
• RQ2 在何种条件下，单调有限差分格式可收敛至具有不连续或退化非线性项的方程的弱解？
• RQ3 如何利用 Lévy 型算子理论统一分析局部与非局部扩散过程？
• RQ4 为确保收敛性与稳定性，$ \varphi(u) $ 与算子 $ \mathfrak{L}^{\sigma,\mu} $ 的最小假设集是什么？
• RQ5 该数值分析框架能否产生原 PDE 系统的新存在性结果？

主要发现

• 所提出的有限差分格式即使在解高度不规则时，也能收敛至 $ L^1 \cap L^\infty $ 中的分布解。
• 该理论在最小假设下实现了适定性、稳定性、等连续性与紧致性，包括对退化与非光滑非线性项的情形。
• 通过使用 Lévy 型算子，该框架统一了对局部（如拉普拉斯算子）与非局部（如分数阶拉普拉斯算子）扩散算子的分析。
• 作为数值分析的副产品，推导出原 PDE 的一个新一般存在性结果，扩展了先前的研究成果。
• 该方法具有鲁棒性：即使在经典正则性或唯一性理论失效的情况下，也能证明收敛性。
• 该理论适用于多孔介质方程与快扩散方程的完整范围，包括强退化 Stefan 问题。