[论文解读] Robust Optimal Control with Adjustable Uncertainty Sets

Xiaojing Zhang, Maryam Kamgarpour+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2015

Advanced Control Systems Optimization参考文献 24被引用 3

一句话总结

本文提出了一种用于鲁棒最优控制的凸优化框架，其不确定性集可调，将不确定性集的大小和形状作为决策变量。通过将不确定性集限制为原始凸集的仿射变换，并采用仿射控制策略，该问题被重新表述为可计算的凸规划问题，从而实现了电力系统及其他应用中最优备用容量的高效计算。

ABSTRACT

In this paper, we develop a unified framework for studying constrained robust optimal control problems with adjustable uncertainty sets. In contrast to standard constrained robust optimal control problems with known uncertainty sets, we treat the uncertainty sets in our problems as additional decision variables. In particular, given a finite prediction horizon and a metric for adjusting the uncertainty sets, we address the question of determining the optimal size and shape of the uncertainty sets, while simultaneously ensuring the existence of a control policy that will keep the system within its constraints for all possible disturbance realizations inside the adjusted uncertainty set. Since our problem subsumes the classical constrained robust optimal control design problem, it is computationally intractable in general. We demonstrate that by restricting the families of admissible uncertainty sets and control policies, the problem can be formulated as a tractable convex optimization problem. We show that our framework captures several families of (convex) uncertainty sets of practical interest, and illustrate our approach on a demand response problem of providing control reserves for a power system.

研究动机与目标

• 开发一个统一的框架，用于处理约束鲁棒最优控制问题，其中不确定性集是可调的决策变量，而非预先固定的。
• 解决在确保所有可能扰动下约束满足的前提下，同时优化不确定性集的大小和形状的挑战。
• 通过实现电力系统及类似应用中最优备用容量的高效计算，扩展现有鲁棒控制方法。
• 在特定结构假设下，对问题进行凸重构，使其在一般情况下固有的不可计算性下仍具有计算可处理性。
• 展示该框架在实际不确定性集族（如范数球、椭球、超长方体和具有预定义顶点的紧致多面体）中的适用性。

提出的方法

• 该框架将不确定性集建模为原始凸集的仿射变换，通过变换矩阵和位移向量参数化。
• 控制策略被限制为相对于原始集合的仿射形式，以确保因果性和可计算性。
• 利用锥优化技术，将具有可调不确定性集的原始鲁棒最优控制问题重新表述为凸优化问题。
• 重构过程利用一种提升算子，将变换后的不确定性集映射到因果控制策略空间，同时保持可行性和最优性。
• 通过利用策略矩阵中的块三角结构以及原始集合的凸性，实现多项式时间可解性。
• 该方法支持灵活的不确定性集设计，包括通过单纯形作为原始集实现的多面体集合，并允许在具有固定顶点数的紧致多面体上进行优化。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以将鲁棒最优控制问题重新表述为不确定性集不是固定而是作为决策变量以优化系统韧性？
• RQ2 在何种结构假设下，可调不确定性集问题仍保持计算可处理性？
• RQ3 当不确定性集通过仿射映射变换时，如何设计仿射控制策略以保持因果性和约束满足？
• RQ4 哪些凸不确定性集族（如椭球、范数球或超长方体）可在此框架内高效优化？
• RQ5 该框架是否可应用于实际问题，如电力系统中的需求响应，目标是最大化备用容量的同时确保运行约束？

主要发现

• 当不确定性集为原始凸集的仿射变换，且控制策略相对于原始变量为仿射时，具有可调不确定性集的鲁棒最优控制问题可被重新表述为计算可行的凸优化问题。
• 该框架支持对广泛不确定性集族的高效优化，包括范数球、椭球、超长方体以及具有预定义顶点数的紧致多面体。
• 通过选择单纯形作为原始集合，该方法高效支持多面体不确定性集的优化，扩展了以往仅限于特定范数的工作。
• 通过一种将变换后的不确定性集映射到因果策略空间的提升算子，所提出的重构方法保持了因果性和约束满足性。
• 证明了原始问题与重构后的凸问题之间的等价性，表明一种形式的可行解可映射为另一种形式的可行解，且目标值完全相同。
• 该方法的计算复杂度随决策参数数量呈多项式增长，适用于电力系统备用容量提供等实际应用的实现。