[论文解读] Robust preconditioning for stochastic Galerkin formulations of parameter-dependent linear elasticity equations

Arbaz Khan, Catherine E. Powell+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2018

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 9被引用 1

一句话总结

本文提出了一种用于参数依赖线弹性问题的三场混合随机伽辽金有限元公式，其中杨氏模量具有不确定性，通过一种新型预条件子使MINRES能够鲁棒地求解由此产生的大型不定线性系统。关键贡献在于，其特征值界与网格划分和泊松比无关，从而确保了收敛的鲁棒性。

ABSTRACT

We consider the nearly incompressible linear elasticity problem with an uncertain spatially varying Young's modulus. The uncertainty is modelled with a finite set of parameters with prescribed probability distribution. We introduce a novel three-field mixed variational formulation of the PDE model and discuss its approximation by stochastic Galerkin mixed finite element techniques. First, we establish the well posedness of the proposed variational formulation and the associated finite-dimensional approximation. Second, we focus on the efficient solution of the associated large and indefinite linear system of equations. A new preconditioner is introduced for use with the minimal residual method (MINRES). Eigenvalue bounds for the preconditioned system are established and shown to be independent of the discretisation parameters and the Poisson ratio. The S-IFISS software used for computation is available online.

研究动机与目标

• 解决由参数依赖线弹性问题的随机伽辽金离散化所产生的大型不定线性系统的数值挑战。
• 为具有不确定材料属性的近乎不可压缩弹性问题，开发一种稳定且适定的三场混合变分公式。
• 设计一种预条件子，确保MINRES迭代的收敛性对网格划分参数和泊松比具有鲁棒性。
• 为预条件系统建立理论特征值界，保证数值稳定性和效率。
• 通过S-IFISS提供开源实现，以确保可复现性并促进更广泛的应用。

提出的方法

• 引入一种涉及位移、应力和一个混合变量的三场混合变分公式，以稳定近乎不可压缩状态。
• 应用随机伽辽金有限元方法来近似弱形式，从而得到一个大规模的鞍点线性系统。
• 为MINRES迭代求解器构建一种新型预条件子，以提高收敛的鲁棒性。
• 推导预条件系统特征值的理论界，表明其与网格尺寸和泊松比无关。
• 利用S-IFISS软件框架进行所提方法的数值实现与验证。
• 在具有空间变化杨氏模量且服从指定概率分布的基准问题上验证该方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有不确定杨氏模量的参数依赖随机线弹性问题构建一个稳定的三场混合变分公式？
• RQ2 在何种条件下，随机伽辽金系统保持适定且可高效求解？
• RQ3 能否设计一种预条件子，使得MINRES的收敛性对网格加密和泊松比均具有鲁棒性？
• RQ4 可以为预条件系统建立何种理论特征值界？这些界是否与关键参数无关？
• RQ5 与现有随机弹性问题求解方法相比，该方法在效率和鲁棒性方面表现如何？

主要发现

• 所提出的三场混合变分公式是适定的，并能为随机弹性问题提供稳定的有限维近似。
• 由此产生的线性系统规模大且不定，这是带有随机参数的混合有限元公式的典型特征。
• 新型预条件子确保了预条件系统条件数的有界性，且与网格尺寸和泊松比无关。
• 建立了预条件系统的理论特征值界，且其对网格划分和材料参数具有鲁棒性。
• S-IFISS软件框架已公开发布，支持方法的可复现性及向其他随机PDE问题的扩展。
• 数值实验验证了在不同参数配置和网格加密下，预条件MINRES求解器的鲁棒性。