[论文解读] Robust preconditioning of monolithically coupled multiphysics problems

Karl Erik Holter, Miroslav Kuchta+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 53被引用 6

一句话总结

本文提出了一种针对界面处使用分数阶与加权拉普拉斯算子的单体耦合多物理场问题的鲁棒、参数鲁棒预条件框架。通过在分数阶索博列夫空间中应用算子预条件法，该方法在诸如达西-斯托克斯和流固耦合等困难问题中实现了与网格无关的收敛性，数值实验验证了最优收敛率以及在不同材料参数和网格细化下的有界条件数。

ABSTRACT

In many applications, one wants to model physical systems consisting of two different physical processes in two different domains that are coupled across a common interface. A crucial challenge is then that the solutions of the two different domains often depend critically on the interaction at the interface and therefore the problem cannot be easily decoupled into its subproblems. Here, we present a framework for finding robust preconditioners for a fairly general class of such problems by exploiting operators representing fractional and weighted Laplacians at the interface. Furthermore, we show feasibility of the framework for two common multiphysics problems; namely the Darcy-Stokes problem and a fluid--structure interaction problem. Numerical experiments that demonstrate the effectiveness of the approach are included.

研究动机与目标

• 为在界面处紧密耦合的多物理场问题的单体弱形式开发一种鲁棒的预条件策略。
• 确保预条件器对粘度、渗透率以及贝弗斯-约瑟夫-萨夫曼系数等物理参数的变化具有参数鲁棒性。
• 将算子预条件理论扩展至使用加权和分数阶索博列夫空间的界面耦合问题。
• 在两个典型问题（达西-斯托克斯流和流固耦合）上对框架进行数值验证。
• 证明预条件系统在网格细化下保持有界条件数和最优收敛率。

提出的方法

• 使用拉格朗日乘子强制界面连续性的单体弱形式来表述耦合的多物理场问题。
• 基于分数阶和加权索博列夫空间中的里斯映射构建预条件器，以捕捉界面变量的正确量纲缩放。
• 在界面处使用分数阶拉普拉斯算子来建模传输条件，包括贝弗斯-约瑟夫-萨夫曼条件。
• 推导速度、压力和拉格朗日乘子的范数，以反映物理量纲并确保耦合系统的适定性。
• 在MINRES迭代求解器中应用预条件器，以实现与网格收敛且对参数鲁棒的收敛性。
• 通过在2D达西-斯托克斯和流固耦合问题上进行不同网格尺寸和材料参数的数值实验验证该方法。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种单体预条件框架，使其在耦合多物理场问题中对粘度和渗透率等物理参数的变化保持鲁棒性？
• RQ2 如何利用分数阶与加权索博列夫空间设计预条件器，以反映耦合系统中界面变量的正确量纲缩放？
• RQ3 所提出的预条件器在达西-斯托克斯和流固耦合等问题中，于网格细化下是否保持有界条件数和最优收敛率？
• RQ4 与区域分解方法相比，该单体预条件器在求解时间与迭代次数方面的相对性能如何？
• RQ5 在适当假设下，该框架是否可应用于子问题适定性在经典意义下未被确立的问题？

主要发现

• 所提出的预条件器在不同网格细化下实现了有界条件数（例如，达西-斯托克斯问题在 h = 2⁻⁸ 时为 12.72）和最优收敛率。
• 数值实验表明，单体预条件器优于区域分解方法，达西-斯托克斯问题每迭代耗时约47秒，斯托克斯-纳维问题约116秒，而区域分解方法耗时60–150秒，性能相当。
• 该方法在参数变化下保持鲁棒性，包括贝弗斯-约瑟夫系数（k = 10⁻⁶ 至 1）的极端值，收敛稳定。
• MINRES求解器的收敛性与网格无关，且对物理参数具有鲁棒性，表现为一致的迭代次数（例如，斯托克斯-纳维问题在 h = 2⁻⁸ 时为47次迭代）。
• 源自[24]分析的理论范数成功扩展至包含拉格朗日乘子，从而实现了鲁棒预条件。
• 该框架在两个基准问题（达西-斯托克斯和流固耦合）上得到验证，误差收敛率与理论估计一致。