[论文解读] Robust PT symmetry of two-dimensional fundamental and vortex solitons supported by spatially modulated nonlinearity

Eitam Luz, Vitaly Lutsky+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2019

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种具有空间调制非线性和复数增益-损耗势的二维非线性薛定谔模型，展示了鲁棒的 $π\mathcal{T}$ 对称性，该对称性在任意大的增益-损耗系数下仍保持未破缺。论文推导出基本解和涡旋孤子的精确解，建立了在 $π\mathcal{T}$ 对称与非 $π\mathcal{T}$ 对称模型中连续孤子族的稳定性，并通过非线性自束缚模式将 $π\mathcal{T}$ 对称性的概念扩展至非线性系统。

ABSTRACT

The real spectrum of bound states produced by PT-symmetric Hamiltonians usually suffers breakup at a critical value of the strength of gain-loss terms, i.e., imaginary part of the complex potential. On the other hand, it is known that the PT-symmetry can be made unbreakable in a one-dimensional (1D) model with self-defocusing nonlinearity whose strength grows fast enough from the center to periphery. The model is nonlinearizable, i.e., it does not have a linear spectrum, while the (unbreakable) PT symmetry in it is defined by spectra of continuous families of nonlinear self-trapped states (solitons). Here we report results for a 2D nonlinearizable model whose PT symmetry remains unbroken for arbitrarily large values of the gain-loss coeffcient. Further, we introduce an extended 2D model with the imaginary part of potential ~ xy in the Cartesian coordinates. The latter model is not a PT-symmetric one, but it also supports continuous families of self-trapped states, thus suggesting an extension of the concept of the PT symmetry. For both models, universal analytical forms are found for nonlinearizable tails of the 2D modes, and full exact solutions are produced for particular solitons, including ones with the unbreakable PT symmetry, while generic soliton families are found in a numerical form. The PT-symmetric system gives rise to generic families of stable single- and double-peak 2D solitons (including higher-order radial states of the single-peak solitons), as well as families of stable vortex solitons with winding numbers m = 1, 2, and 3. In the model with imaginary potential ~ xy, families of single-and multi-peak solitons and vortices are stable if the imaginary potential is subject to spatial confinement. In an elliptically deformed version of the latter model, an exact solution is found for vortex solitons with m = 1.

研究动机与目标

• 研究具有空间调制非线性和复数增益-损耗项的不可线性化系统中二维孤子的存在性与稳定性。
• 通过分析连续非线性自束缚态族，将 $π\mathcal{T}$ 对称性的概念扩展至线性谱之外。
• 证明在二维设置中，$π\mathcal{T}$ 对称性可在任意大的增益-损耗系数下保持未破缺。
• 研究在具有空间受限虚部势的 $π\mathcal{T}$ 对称与非 $π\mathcal{T}$ 对称模型中，基本孤子与涡旋孤子的稳定性与结构。
• 发展用于在复杂、非厄米、非线性系统中构造精确且稳定孤子解的数值与解析方法。

提出的方法

• 通过将牛顿共轭梯度法应用于具有空间调制非线性和复数势的非线性薛定谔方程，计算定态。
• 使用谱配置法数值求解稳定性分析的线性化特征值问题，通过线性化系统的特征值 $Γ$ 分析扰动。
• 采用小步长 $\Delta z = 10^{-5}$ 的分裂步傅里叶法进行时间演化的直接模拟，以确保在奇异非线性和增益-损耗分布下仍保持精度。
• 该模型采用随半径增加的非线性系数 $\Sigma(r)$，使系统不可线性化，从而实现不可破缺的 $π\mathcal{T}$ 对称性。
• 考虑两种不同的虚部势分布：一种为 $W(x,y) \sim x^2 - y^2$（标准 $π\mathcal{T}$ 对称性），另一种为 $W(x,y) \sim xy$（非 $π\mathcal{T}$ 对称性但仍支持稳定孤子）。
• 推导出二维孤子非可线性化尾部的普遍解析形式，并为特定孤子态（包括 $m=1,2,3$ 的涡旋孤子）构造精确解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有空间调制非线性的二维不可线性化系统中，$π\mathcal{T}$ 对称性是否可在任意大的增益-损耗系数下保持未破缺？
• RQ2 当虚部势破坏 $π\mathcal{T}$ 对称性但具有空间受限特性时，二维模型中是否存在连续稳定的孤子族？
• RQ3 此类系统中二维孤子非可线性化尾部的普遍解析形式是什么？
• RQ4 基本孤子与涡旋孤子的稳定性特性如何依赖于增益-损耗项的空间分布与非线性调制形式？
• RQ5 能否为这些不可线性化模型中的特定孤子态（包括高阶径向与涡旋模态）推导出精确解析解？

主要发现

• 在 $π\mathcal{T}$ 对称模型中，支持连续稳定的单峰与双峰孤子族，包括高阶径向态，且 $π\mathcal{T}$ 对称性在任意大的增益-损耗系数下保持未破缺。
• 在 $π\mathcal{T}$ 对称模型中发现了具有拓扑荷 $m=1$、$2$ 和 $3$ 的稳定涡旋孤子，存在于广泛的参数区域中。
• 在 $W(x,y) \sim xy$ 的非 $π\mathcal{T}$ 对称模型中，当虚部势空间受限时，基本与涡旋孤子的稳定族依然存在。
• 在 $xy$ 型虚部势模型的椭圆形变形版本中，为 $m=1$ 的涡旋孤子导出了精确解析解。
• 两种模型中二维孤子的非可线性化尾部均遵循与具体参数无关的普遍解析形式。
• 数值模拟证实了孤子族在小扰动下的稳定性，特征值分析与直接演化模拟共同验证了其长期鲁棒性。