[论文解读] Robust (rainbow) subdivisions and simplicial cycles

István Tomon|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2022

Commutative Algebra and Its Applications被引用 9

一句话总结

本文建立了图与超图中鲁棒（彩虹）细分及单纯形圈的新极值界限。通过在膨胀图中运用随机顶点采样，证明了边数为 $ n^{1+\beta} $ 的稠密图中，即使在正常边着色（彩虹条件）下，也包含 $ t = n^{\Theta(\beta)} $ 的 $ K_t $ 的 $ \ell $-细分，且 $ \ell = \Omega(\frac{1}{\beta}\log\frac{1}{\beta}) $；并将这些结果推广至包含三角剖分圆柱面与莫比乌斯带的二维及更高维单纯形复形。

ABSTRACT

We present several results in extremal graph and hypergraph theory of topological nature. First, we show that if $α>0$ and $\ell=Ω(\frac{1}α\log\frac{1}α)$ is an odd integer, then every graph $G$ with $n$ vertices and at least $n^{1+α}$ edges contains an $\ell$-subdivision of the complete graph $K_t$, where $t=n^{Θ(α)}$. Also, this remains true if in addition the edges of $G$ are properly colored, and one wants to find a rainbow copy of such a subdivision. In the sparser regime, we show that properly edge colored graphs on $n$ vertices with average degree $(\log n)^{2+o(1)}$ contain rainbow cycles, while average degree $(\log n)^{6+o(1)}$ guarantees rainbow subdivisions of $K_t$ for any fixed $t$, thus improving recent results of Janzer and Jiang et al., respectively. Furthermore, we consider certain topological notions of cycles in pure simplicial complexes (uniform hypergraphs). We show that if $G$ is a $2$-dimensional pure simplicial complex ($3$-graph) with $n$ $1$-dimensional and at least $n^{1+α}$ 2-dimensional faces, then $G$ contains a triangulation of the cylinder and the Möbius strip with $O(\frac{1}α\log\frac{1}α)$ vertices. We present generalizations of this for higher dimensional pure simplicial complexes as well. In order to prove these results, we consider certain (properly edge colored) graphs and hypergraphs $G$ with strong expansion. We argue that if one randomly samples the vertices (and colors) of $G$ with not too small probability, then many pairs of vertices are connected by a short path whose vertices (and colors) are from the sampled set, with high probability.

研究动机与目标

• 确定图中包含鲁棒 $ \ell $-细分的最小边密度，其中 $ t $ 随 $ n $ 增长且 $ \ell $ 较大。
• 将这些结果扩展到正常边着色图，证明在类似密度条件下存在彩虹 $ \ell $-细分。
• 研究纯单纯形复形中的拓扑结构，表明具有 $ n^{1+\alpha} $ 个 2-面的复形包含顶点数为 $ O(\frac{1}{\alpha}\log\frac{1}{\alpha}) $ 的三角剖分圆柱面与莫比乌斯带。
• 改进超立方体 $ Q_n $ 中圈与细分的极值界限，特别是奇数长度圈的情况。
• 通过一种新颖的采样方法，统一并加强此前在极值图论中结合拓扑与彩虹约束的研究结果。

提出的方法

• 分析具有强膨胀性质的稠密图与超图，以通过随机顶点采样实现高概率连通性。
• 应用一种随机采样技术，其中顶点与颜色以非可忽略的概率被选择，确保在采样子图中，许多顶点对仍通过短的单色或彩虹路径相连。
• 使用依赖性随机选择方法，在稠密图中嵌入大尺度细分，特别是 $ t = n^{\Theta(\alpha)} $ 的 $ K_t $ 的 $ \ell $-细分。
• 应用极值超图理论的结果，例如对表示圈的 3-图有 $ \mathrm{ex}(n,\mathcal{C}) = n^{2+O(\log\ell/\ell)} $，以界定超立方体中的极值数。
• 利用洛瓦兹局部引理与计数论证，推导出 $ \mathrm{ex}(Q_n, C_{2\ell}) $ 的改进上界，表明当 $ \ell \geq 7 $ 为奇数时，其上界为 $ O(n^{2/3+O(\log\ell/\ell)} \cdot 2^n) $。
• 通过 $ r $-图的图表示理论，将超图中的极值界限转移至超立方体。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ t $ 作为 $ n $ 的函数增长且 $ \ell $ 较大时，图中包含 $ K_t $ 的 $ \ell $-细分所需的最小边密度是多少？
• RQ2 在类似密度阈值下，能否保证正常边着色图中存在彩虹 $ \ell $-细分？
• RQ3 具有 $ n^{1+\alpha} $ 个 2-面的纯单纯形复形是否必然包含顶点数较少的三角剖分拓扑曲面（如圆柱面或莫比乌斯带）？
• RQ4 对于奇数 $ \ell $，特别是当 $ \ell \to \infty $ 时，$ \mathrm{ex}(Q_n, C_{2\ell}) $ 的最佳可能上界是什么？
• RQ5 能否消除或显著改进极值结果中 $ \epsilon $ 对 $ \ell $-细分依赖的影响？

主要发现

• 对任意 $ \alpha > 0 $，若 $ \ell = \Omega(\frac{1}{\alpha}\log\frac{1}{\alpha}) $ 为奇数，则任意 $ n $-顶点图若至少有 $ n^{1+\alpha} $ 条边，则包含 $ t \geq n^{c_2\alpha} $ 的 $ K_t $ 的 $ \ell $-细分，其中 $ c_2 > 0 $ 为某常数。
• 该结果在正常边着色下依然成立：此类图包含相同 $ t $ 的彩虹 $ \ell $-细分，表明其在着色约束下具有鲁棒性。
• 平均度为 $ (\log n)^{2+o(1)} $ 的正常边着色图包含彩虹圈；当平均度为 $ (\log n)^{6+o(1)} $ 时，它们包含任意固定 $ t $ 的彩虹 $ \ell $-细分。
• 每个具有 $ n $ 条 1-边且至少 $ n^{1+\alpha} $ 个 2-面的二维纯单纯形复形，均包含顶点数为 $ O(\frac{1}{\alpha}\log\frac{1}{\alpha}) $ 的圆柱面与莫比乌斯带的三角剖分。
• 当 $ \ell \geq 7 $ 为奇数时，极值数 $ \mathrm{ex}(Q_n, C_{2\ell}) $ 的上界为 $ O(n^{2/3+O(\log\ell/\ell)} \cdot 2^n) $，优于先前结果。
• 本文解决了彩虹极值数的开放问题：$ \mathrm{ex}(n, \text{彩虹圈}) = O(n(\log n)^2) $，且对固定 $ t $，有 $ \mathrm{ex}(n, \text{彩虹 } K_t \text{ 细分}) = O(n(\log n)^{2+o(1)}) $。