[论文解读] Robust self-testing for linear constraint system games

Andrea Coladangelo, Jalex Stark|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2017

Advanced Database Systems and Queries参考文献 18被引用 23

一句话总结

本文建立了 ℤ_d 上线性约束系统（LCS）游戏的鲁棒自测试定理，将 Cleve、Liu 和 Slofstra 的表示理论框架扩展至非阿贝尔群及 d ≥ 2 的 ℤ_d。证明了在 ℤ_2 上的魔术方阵与魔术五角星游戏分别唯一自测试两对与三对最大纠缠的量子比特，具有 ε-鲁棒性界，并表明对 d ≠ 2 的推广不可能实现，从而解决了关于非二的幂次局部维数的最大纠缠态自测试的关键开放问题。

ABSTRACT

We study linear constraint system (LCS) games over the ring of arithmetic modulo $d$. We give a new proof that certain LCS games (the Mermin--Peres Magic Square and Magic Pentagram over binary alphabets, together with parallel repetitions of these) have unique winning strategies, where the uniqueness is robust to small perturbations. In order to prove our result, we extend the representation-theoretic framework of Cleve, Liu, and Slofstra (Journal of Mathematical Physics 58.1 (2017): 012202.) to apply to linear constraint games over $\mathbb{Z}_d$ for $d\geq 2$. We package our main argument into machinery which applies to any nonabelian finite group with a ''solution group'' presentation. We equip the $n$-qubit Pauli group for $n\geq 2$ with such a presentation; our machinery produces the Magic Square and Pentagram games from the presentation and provides robust self-testing bounds. The question of whether there exist LCS games self-testing maximally entangled states of local dimension not a power of $2$ is left open. A previous version of this paper falsely claimed to show self-testing results for a certain generalization of the Magic Square and Pentagram mod $d eq 2$. We show instead that such a result is impossible.

研究动机与目标

• 将 Cleve、Liu 和 Slofstra 的表示理论框架扩展至 d ≥ 2 的 ℤ_d 上的 LCS 游戏。
• 建立 ℤ_2 上 Mermin–Peres 魔术方阵与魔术五角星游戏的鲁棒自测试定理。
• 解决 LCS 游戏是否能自测试非二的幂次局部维数的最大纠缠态的问题。
• 表明魔术方阵与五角星游戏向 d ≠ 2 的推广无法实现自测试，纠正了此前的错误主张。

提出的方法

• 将解群框架扩展至具有 ℤ_d 上解群表示的非阿贝尔有限群。
• 将该工具应用于 n ≥ 2 的 n 量子比特泡利群，该群在 ℤ_2 上具有解群表示。
• 利用群图与规范形式来限制群恒等式证明中生成元与关系的出现次数。
• 应用定理 B.1 推导出自测试的 ε-鲁棒性界，依赖于关系与生成元频率的界。
• 采用扭曲交换关系与子图替换以控制并行重复中的复杂性。
• 通过群表示的稳定性理论及表示理论对获胜策略的约束来证明鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 d ≠ 2 的 ℤ_d 上的 LCS 游戏能否自测试局部维数为 d 且非二的幂次的最大纠缠态？
• RQ2 在 ℤ_2 上的魔术方阵与魔术五角星游戏是否分别以对小误差具有鲁棒性的方式唯一自测试两对与三对最大纠缠的量子比特？
• RQ3 是否存在一个在 ℤ_d 上的解群，使得其所有不可约表示均为 1-维或 d-维，且 J 映射为非平凡的 d 次单位根？
• RQ4 哪些有限非阿贝尔群是解群？它们能否支持具有自测试性质的伪telepathy 游戏？
• RQ5 解群框架能否被推广以捕捉所有具有鲁棒自测试性质的 LCS 游戏？

主要发现

• 在 ℤ_2 上的魔术方阵游戏以 O(ε) 鲁棒性鲁棒地自测试两对最大纠缠的量子比特，其中 ε 为获胜概率中的误差。
• 在 ℤ_2 上的魔术五角星游戏以 O(ε) 鲁棒性鲁棒地自测试三对最大纠缠的量子比特。
• 魔术方阵与五角星游戏的 n 重并行重复以 O(ε) 鲁棒性自测试 n 量子比特泡利测量及相应的最大纠缠态。
• 魔术方阵与五角星游戏向 d ≠ 2 的推广无法实现自测试，因为此类构造由于代数障碍而不可能实现。
• 对于 n ≥ 2 的 n 量子比特泡利群，其在 ℤ_2 上具有解群表示，从而可构造多量子比特纠缠态的自测试定理。
• 本文纠正了先前错误主张，表明 d ≠ 2 的 ℤ_d 上的 LCS 游戏无法自测试局部维数为 d 的最大纠缠态。