[论文解读] Robust stability and stabilization of uncertain linear positive systems via Integral Linear Constraints: L1- and Linfinity-gains characterization

Corentin Briat|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2012

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 30被引用 32

一句话总结

本文提出了一种基于积分线性约束（ILCs）和线性共轭正定李雅普诺夫函数的不确定线性正系统鲁棒稳定性与镇定框架。通过结合具有线性供应率的耗散性理论，利用鲁棒线性规划表征 $L_1$-和 $L_\infty$-增益，借助哈恩德尔定理实现有限维可行性问题的非保守分析与控制器设计。

ABSTRACT

Copositive linear Lyapunov functions are used along with dissipativity theory for stability analysis and control of uncertain linear positive systems. Unlike usual results on linear systems, linear supply-rates are employed here for robustness and performance analysis using L1- and Linfinity-gains. Robust stability analysis is performed using Integral Linear Constraints (ILCs) for which several classes of uncertainties are discussed. The approach is then extended to robust stabilization and performance optimization. The obtained results are expressed in terms of robust linear programming problems that are equivalently turned into finite dimensional ones using Handelman's Theorem. Several examples are provided for illustration.

研究动机与目标

• 解决不确定线性正系统在结构化不确定性下缺乏非保守鲁棒性分析方法的问题。
• 开发一种 $L_1$-和 $L_\infty$-增益计算框架，计算高效且适用于非负及带符号输入/输出的系统。
• 通过全维、结构化且有界的状态反馈控制器实现带性能约束的鲁棒镇定。
• 利用哈恩德尔定理的松弛方法，将鲁棒控制问题转化为有限维凸优化形式。
• 通过积分线性约束（ILCs）将无线性矩阵不等式的方法扩展至不确定正系统。

提出的方法

• 使用线性共轭正定李雅普诺夫函数 $V(x) = \lambda^T x$，其中 $\lambda \gg 0$，以表征稳定性和性能。
• 应用具有线性供应率的耗散性理论，定义 $L_1$-和 $L_\infty$-增益，通过线性规划实现 $L_1$-增益计算。
• 采用线性分式变换（LFTs）将参数时变不确定性建模为固定系统与不确定块的互连。
• 引入积分线性约束（ILCs）以统一多种不确定性类别的鲁棒性分析，包括有理函数和多项式依赖关系。
• 应用哈恩德尔定理，将无穷维鲁棒性条件松弛为有限维线性规划。
• 利用 $L_1$-和 $L_\infty$-增益之间的对偶性：系统的 $L_\infty$-增益等于其转置系统的 $L_1$-增益。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过线性规划精确且高效地计算线性正系统的 $L_1$-和 $L_\infty$-增益？
• RQ2 如何对具有有理函数或多项式参数依赖关系的不确定正系统进行鲁棒稳定性分析？
• RQ3 能否在不依赖二次李雅普诺夫函数的前提下，将带性能约束的鲁棒镇定问题表述为凸优化问题？
• RQ4 所提出的基于 ILC 的框架在固定静态增益矩阵系统中能多大程度上实现非保守结果？
• RQ5 在松弛方案中使用更高次多项式标度是否能降低 $L_1$-增益估计的保守性？

主要发现

• 线性正系统的 $L_1$-增益可通过线性规划精确计算，其复杂度随系统规模线性增长。
• $L_\infty$-增益等价于系统转置的 $L_1$-增益，因此可借助同一框架高效计算。
• 在参数依赖矩阵示例中，精确的 $L_1$-增益为 92.8358，精确的 $L_\infty$-增益为 82.0249，后者通过二次多项式标度得到准确估计。
• 使用二次多项式标度可降低 $L_1$-增益估计的保守性，使准确性从一次多项式（94.167）提升至二次多项式（82.025）。
• 所提方法对具有固定静态增益矩阵的线性时不变（LTI）正不确定性系统可获得非保守结果。
• 带性能约束的鲁棒镇定被表述为鲁棒线性规划问题，可通过哈恩德尔定理的有限维松弛方法求解。