[论文解读] Robustness of Complex Networks with Implications for Consensus and Contagion

Haotian Zhang, Elaheh Fata+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2012

Complex Network Analysis Techniques参考文献 34被引用 25

一句话总结

本文研究了复杂网络的鲁棒性——即在网络节点失效或遭受对抗性行为时维持功能的能力——在三种常见的随机图模型中的表现：Erdős-Rényi 网络、几何随机网络和优先连接网络。研究发现，在这些模型中，鲁棒性与连通性一致，意味着信息扩散效率较高，同时证明了在任意图中确定鲁棒性的复杂度为 coNP-完全。

ABSTRACT

We study a graph-theoretic property known as robustness, which plays a key role in certain classes of dynamics on networks (such as resilient consensus, contagion and bootstrap percolation). This property is stronger than other graph properties such as connectivity and minimum degree in that one can construct graphs with high connectivity and minimum degree but low robustness. However, we show that the notions of connectivity and robustness coincide on common random graph models for complex networks (Erdos-Renyi, geometric random, and preferential attachment graphs). More specifically, the properties share the same threshold function in the Erdos-Renyi model, and have the same values in one-dimensional geometric graphs and preferential attachment networks. This indicates that a variety of purely local diffusion dynamics will be effective at spreading information in such networks. Although graphs generated according to the above constructions are inherently robust, we also show that it is coNP-complete to determine whether any given graph is robust to a specified extent.

研究动机与目标

• 分析网络鲁棒性与连通性、最小度等结构性质在随机复杂网络中的关系。
• 确定在 Erdős-Rényi、几何随机和优先连接网络等常见随机图模型中，鲁棒性与连通性是否等价。
• 确立验证给定图是否具备指定程度鲁棒性的计算复杂度。
• 证明由于网络固有的鲁棒性，局部扩散动态（如一致性、传染）在随机网络中是有效的。

提出的方法

• 采用图论定义的鲁棒性：若任意节点划分中，每个部分均至少有 r 个节点与该部分外部存在邻居，则称网络为 r-鲁棒。
• 在 Erdős-Rényi 模型中应用阈值分析，表明鲁棒性与连通性和最小度具有相同的阈值函数。
• 分析一维几何随机图和优先连接模型，证明在这些设定下鲁棒性与连通性等价。
• 通过将 3-SAT 问题归约，证明在一般图中确定 r-鲁棒性（r ≥ 2）为 coNP-完全。
• 构建变量和子句构件，将逻辑公式嵌入图结构中，建立逻辑可满足性与图鲁棒性之间的联系。
• 利用 Menger 定理和节点不相交路径论证，形式化连通性与鲁棒性之间的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在标准随机图模型中，复杂网络的鲁棒性是否与连通性一致？
• RQ2 在 Erdős-Rényi 随机图中，鲁棒性的阈值行为如何？其与连通性和最小度相比有何差异？
• RQ3 在一维几何随机图和优先连接网络中，鲁棒性与连通性是否等价？
• RQ4 在给定图中验证其是否为 r-鲁棒（r ≥ 2）在计算上是否可行？
• RQ5 能否利用局部信息高效判断网络的鲁棒性？还是该问题本质上困难？

主要发现

• 在 Erdős-Rényi 随机图中，鲁棒性、连通性和最小度具有相同的阈值函数，表明鲁棒性与连通性同时在临界边概率下出现。
• 在一维几何随机图中，鲁棒性与连通性等价，意味着在相同条件下连通性即蕴含鲁棒性。
• 在优先连接网络中，鲁棒性与连通性同样等价，表明无标度网络天然支持鲁棒的动力学行为。
• 确定给定图是否为 r-鲁棒（r ≥ 2）的问题是 coNP-完全的，表明除非 P = NP，否则不存在高效算法。
• 尽管在一般图中验证鲁棒性具有困难性，但通过常见模型生成的随机网络本身具有内在鲁棒性，从而支持信息的有效局部扩散。
• 随机模型中鲁棒性与连通性的等价性意味着，诸如一致性与传染等简单局部动态可在这些网络中有效传播。