[论文解读] Rogers functions and fluctuation theory

Mateusz Kwaśnicki|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2013

Holomorphic and Operator Theory参考文献 37被引用 5

一句话总结

本文引入Rogers函数——在右半平面上全纯且满足 f(ξ)/ξ 的实部非负的函数——并建立了其Wiener–Hopf分解。证明了对于近乎平衡的Rogers函数，f(ξ)+τ 的Wiener–Hopf因子在 ξ 和 τ 上均为完全Bernstein函数，且具有显式积分表示，从而实现了具有完全单调跳跃的Lévy过程的上确界和下确界泛函的半显式Laplace变换。

ABSTRACT

Extending earlier work by Rogers, Wiener-Hopf factorisation is studied for a class of functions closely related to Nevanlinna-Pick functions and complete Bernstein functions. The name 'Rogers functions' is proposed for this class. Under mild additional condition, for a Rogers function f, the Wiener--Hopf factors of f(z)+q, as well as their ratios, are proved to be complete Bernstein functions in both z and q. This result has a natural interpretation in fluctuation theory of Lévy processes: for a Lévy process X_t with completely monotone jumps, under mild additional condition, the Laplace exponents kappa(q;z), kappa*(q;z) of ladder processes are complete Bernstein functions of both z and q. Integral representation for these Wiener--Hopf factors is studied, and a semi-explicit expression for the space-only Laplace transform of the supremum and the infimum of X_t follows.

研究动机与目标

• 定义并研究一类新函数，称为Rogers函数，其为Nevanlinna–Pick函数和完全Bernstein函数的推广。
• 在较弱条件下建立Rogers函数的新型Wiener–Hopf分解理论。
• 将该理论应用于具有完全单调跳跃密度的Lévy过程的波动理论。
• 推导Wiener–Hopf因子及上确界和下确界泛函的仅空间Laplace变换的积分表示。
• 证明上升过程的Laplace指数在空间参数 ξ 和时间参数 τ 上均为完全Bernstein函数。

提出的方法

• 将Rogers函数定义为在 C_+ 上全纯且对所有 ξ 属于右半平面满足 Re(f(ξ)/ξ) ≥ 0 的函数。
• 建立Rogers函数与函数 -f(-iξ)/ξ 属于Nevanlinna–Pick函数类之间的等价性。
• 利用Wiener–Hopf分解框架，将 f(ξ)+τ 分解为在 ξ 和 τ 上全纯函数的乘积。
• 在近乎平衡条件下，证明Wiener–Hopf因子及其比值在两个变量上均为完全Bernstein函数。
• 通过Laplace变换全纯延拓的边界值，推导上确界和下确界泛函Laplace变换的积分表示。
• 使用傅里叶级数和复分析技巧，计算上确界泛函密度Laplace变换的显式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 f 为Rogers函数时，f(ξ)+τ 的Wiener–Hopf分解结构如何？
• RQ2 在何种条件下，Wiener–Hopf因子及其比值在 ξ 和 τ 上均为完全Bernstein函数？
• RQ3 如何用Rogers函数表示Lévy过程的上确界和下确界之仅空间Laplace变换？
• RQ4 Rogers函数与具有完全单调跳跃密度的Lévy过程之间存在何种关系？
• RQ5 能否证明上升过程的Laplace指数在空间和时间参数上均为完全Bernstein函数？

主要发现

• 对于近乎平衡的Rogers函数 f，Wiener–Hopf因子 κ↑(τ;ξ) 和 κ↓(τ;ξ) 在 ξ 和 τ 上均为完全Bernstein函数。
• 比值 κ↑(τ₁;ξ)/κ↑(τ₂;ξ)、κ↓(τ₁;ξ)/κ↓(τ₂;ξ)、κ↑(τ;ξ₁)/κ↑(τ;ξ₂) 和 κ↓(τ;ξ₁)/κ↓(τ;ξ₂) 分别为 ξ 和 τ 上的完全Bernstein函数。
• 通过Laplace变换全纯延拓的边界值，推导出上确界泛函的显式半显式表达式。
• 在稳定情形下，特征指数为 f(ξ) = ξ^α，α ∈ (0,2)，上确界密度的Laplace变换由包含 sin(απϱ)u^α / (1 + 2u^α cos(απϱ) + u^{2α}) 的积分及对数校正项构成。
• 乘积 |f↑(−ir e^{iθ}) f↓(ru)| 的对数可表示为涉及 f(re^{iθ}) 的幅值与辐角的实积分，外加依赖于 α 和 ϱ 的校正项。
• 上确界密度Laplace变换的最终表达式为对 v 和 u 的二重积分，包含有理项与对数项，且对所有 r > 0 和 x > 0 成立。