[论文解读] Root multiplicities for Borcherds algebras and graph coloring

G. Arunkumar, Deniz Kus+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2016

Advanced Topics in Algebra参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文建立了Borcherds代数中根重数与图着色之间的新颖联系，表明关联图的广义色多项式通过李理论公式计算根重数。此外，该研究将重数与具有唯一源点的无环定向联系起来，并基于Lyndon词构造了根空间的基，从而提供了色多项式Stanley对偶性定理的李理论证明。

ABSTRACT

We establish a connection between root multiplicities for Borcherds-Kac-Moody algebras and graph coloring. We show that the generalized chromatic polynomial of the graph associated to a given Borcherds algebra can be used to give a closed formula for certain root multiplicities. Using this connection we give a second interpretation, namely that the root multiplicity of a given root coincides with the number of acyclic orientations with a unique sink of a certain graph (depending on the root). Finally, using the combinatorics of Lyndon words we construct a basis for the root spaces corresponding to these roots and determine the Hilbert series in the case when all simple roots are imaginary. As an application we give a Lie theoretic proof of Stanley's reciprocity theorem of chromatic polynomials.

研究动机与目标

• 建立广义色多项式在Borcherds代数根重数上的李理论解释。
• 将根重数与关联Borcherds代数图的具有唯一源点的无环定向联系起来。
• 通过Lyndon词构造根空间的组合基，特别针对所有虚简单根的情形。
• 当补图无三角形时，推导代数正部分的Hilbert级数公式。
• 利用Borcherds代数的代数结构，提供色多项式Stanley对偶性定理的李理论证明。

提出的方法

• 利用Borcherds代数的分母恒等式，作者将根重数与正根乘积展开中的系数关联起来。
• 他们定义了广义色多项式 $\pi^{G}_{\mathbb{k}}(q)$，用于计数图 $G$ 上每个顶点 $i$ 使用 $k_i$ 种颜色的合法多着色，并通过生成函数恒等式证明其计算根重数。
• 通过Greene与Zaslavsky的结果，建立了与无环定向的联系，利用Möbius反演将具有唯一源点的无环定向数与根重数关联。
• 构建了一个基于Lyndon词的组合模型 $C^i(\mathbb{k}, G)$，每个词映射到根空间 $\mathfrak{g}_{\eta(\mathbb{k})}$ 中的一个李词，形成基。
• 在所有简单根均为虚根的情形下，正部分代数被识别为自由部分交换李代数，从而可使用独立集多项式。
• 通过独立集多项式的对数导数推导Hilbert级数，当补图无三角形时，公式涉及Lucas多项式。

实验结果

研究问题

• RQ1 Borcherds代数中的根重数如何通过图着色不变量（如广义色多项式）表达？
• RQ2 根重数的组合解释是什么，以具有唯一源点的无环定向为条件？
• RQ3 基于Lyndon词的构造能否给出Borcherds代数根空间的显式基？
• RQ4 Borcherds代数正部分的Hilbert级数如何与关联图的独立集多项式相关？
• RQ5 能否从李代数结构推导出色多项式的Stanley对偶性定理？

主要发现

• 根重数 $\eta(\mathbb{k}) = \sum k_i \alpha_i$ 由 $\sum_{\ell|\mathbb{k}} \frac{\mu(\ell)}{\ell} |\pi^{G}_{\mathbb{k}/\ell}(q)[q]|$ 给出，其中 $|\pi^{G}_{\mathbb{k}/\ell}(q)[q]|$ 是广义色多项式中 $q$ 项系数的绝对值。
• 根重数等于 $\sum_{\ell|\mathbb{k}} \frac{\mu(\ell)}{\ell} \cdot \frac{1}{(\mathbb{k}/\ell)!} \cdot O_i(G(\mathbb{k}/\ell))$，其中 $O_i(G(\mathbb{k}/\ell))$ 表示在并图 $G(\mathbb{k}/\ell)$ 中具有唯一源点 $i$ 的无环定向数。
• 根空间 $\mathfrak{g}_{\eta(\mathbb{k})}$ 的基通过Lyndon词的组合模型 $C^i(\mathbb{k}, G)$ 构造，每个词 $\mathbb{w}$ 映射到一个李词 $\iota(\mathbb{w})$，该词张成该空间。
• 当所有简单根均为虚根时，$\mathfrak{n}^+$ 的Hilbert级数由图的独立集多项式决定，齐次分量的维数 $M_k$ 通过Lucas多项式表达：$M_k = \frac{1}{k} \sum_{d|k} \mu(k/d) \langle k \rangle_{v, -e}$，其中 $v$ 和 $e$ 分别为补图的顶点数与边数。
• 作者利用李理论工具证明了色多项式的Stanley对偶性定理，表明 $q$-相容的定向与着色对的数量由在 $-1$ 处求值的色多项式的带符号和捕获。
• 对于无三角形补图，独立集多项式对数导数中的数 $N_k$ 被证明为 $N_k = \frac{1}{k} \langle k \rangle_{v, -e}$，从而与Lucas多项式直接关联。