[论文解读] Root systems and diagram calculus. II. Quadratic forms for the Carter diagrams

Rafael Stekolshchik|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文引入了含4-圈的Carter图的偏Cartan矩阵与对偶偏Weyl群，通过线性无关根扩张定义关联系统。结果表明，$E_6(a_i)$、$E_7(a_i)$与$D_n(a_i)$的关联系统分别具有2、1和1个连通分支，其大小分别为27、56与$2n$，分别与$E_6$、$E_7$及$D_n$的基表示维数一致，其中八元子系统（loctets）在结构中起核心作用。

ABSTRACT

For any Carter diagram $Γ$ containing 4-cycle, we introduce the partial Cartan matrix $B_L$, which is similar to the Cartan matrix associated with a Dynkin diagram. A linkage diagram is obtained from $Γ$ by adding one root together with its bonds such that the resulting subset of roots is linearly independent. The linkage diagrams connected under the action of dual partial Weyl group (associated with $B_L$) constitute the linkage system, which is similar to the weight system arising in the representation theory of the semisimple Lie algebras. For Carter diagrams $E_6(a_i)$ and $E_6$ (resp. $E_7(a_i)$ and $E_7$; resp. $D_n(a_i)$ and $D_n$), the linkage system has, respectively, 2, 1, 1 components, each of which contains, respectively, 27, 56, $2n$ elements. Numbers 27, 56 and $2n$ are well-known dimensions of the smallest fundamental representations of semisimple Lie algebras, respectively, for $E_6$, $E_7$ and $D_n$. The 8-cell "spindle-like" linkage subsystems called loctets play the essential role in describing the linkage systems. It turns that weight systems also can be described by means of loctets.

研究动机与目标

• 开发一种基于偏Cartan矩阵与对偶偏Weyl群的Carter图（含4-圈）的图式演算方法。
• 对保持线性无关性的根扩张所生成的关联系统进行分类。
• 解释关联系统中出现27、56与$2n$维数的原因，将其视为$E_6$、$E_7$与$D_n$基表示维数的类比。
• 确立八元子系统（loctets）——8个单元的纺锤形子系统——在组织关联系统与权系中的核心作用。
• 将该框架扩展至更高秩图$D_l(a_k)$与$D_l$（$l > 7$），并展示一致的结构模式。

提出的方法

• 为包含4-圈的Carter图$Γ$定义关联的偏Cartan矩阵$B_L$，其由根子集导出。
• 引入作用于关联图的对偶偏Weyl群$W_L^\bullet$，以生成关联系统。
• 利用逆二次型$\mathscr{B}_L^\vee$通过不等式$\mathscr{B}_L^\vee(\gamma^\vee) < 2$刻画有效关联图。
• 通过添加根$\gamma$构造关联图，使得扩展后的根系保持线性无关。
• 采用$\beta$-单色关联图与loctets（类型$ij \in \{12,13,23\}$）来枚举连通分支与子系统。
• 应用投影定理，将低秩图（$D_4, D_5, D_6$）的结果推广至高秩情形（$l > 7$）。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为含4-圈的Carter图定义偏Cartan矩阵与对偶偏Weyl群？
• RQ2 通过线性无关根扩张生成的关联系统的结构是怎样的？
• RQ3 为何$E_6(a_i)$、$E_7(a_i)$与$D_n(a_i)$的关联系统分别具有27、56与$2n$个元素？
• RQ4 loctets——8个元素的子系统——如何组织关联系统与权系？
• RQ5 关联系统的结构能否被投影并推广至更高秩图如$D_l(a_k)$与$D_l$（$l > 7$）？

主要发现

• 在$E_6(a_i)$中，关联系统有2个连通分支，每个分支含27个元素，与$E_6$的基表示维数一致。
• 在$E_7(a_i)$中，关联系统有1个连通分支，含56个元素，与$E_7$的基表示维数一致。
• 在$D_n(a_i)$中，关联系统有1个连通分支，含$2n$个元素，与$D_n$的基表示维数一致。
• loctets——8个单元的纺锤形子系统——在组织关联系统中起核心作用，$E_6(a_i)$、$E_7(a_i)$与$D_n(a_i)$的每个连通分支均包含多个loctets。
• 对于$l > 7$的$D_l(a_k)$与$D_l$，关联系统有1个连通分支，含$2l$个元素与1个loctet，与$D_n$的模式一致。
• 逆二次型$\mathscr{B}_L^\vee$提供了一个判别准则$\mathscr{B}_L^\vee(\gamma^\vee) < 2$，用于识别有效关联图，从而实现系统的枚举。