[论文解读] Rosser provability and the second incompleteness theorem

Taishi Kurahashi|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2019

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文為皮亚诺算术構造了三個不同的羅瑟可證明性謂詞，使其滿足各種組合的可證明性條件，從而表明僅憑希爾伯特-伯恩AYS可證明性條件不足以保證一致性陳述的不可證明性——從而揭示了在不同可證明性謂詞下，第二條不完全性定理的局限性。

ABSTRACT

This paper is a continuation of Arai's paper on derivability conditions for Rosser provability predicates. We investigate the limitations of the second incompleteness theorem by constructing three different Rosser provability predicates satisfying several derivability conditions.

研究动机与目标

• 為了透過構造滿足特定可證明性條件的羅瑟可證明性謂詞，來研究第二條不完全性定理的局限性。
• 證明希爾伯特-伯恩AYS可證明性條件並不能導致一致性陳述的不可證明性，從而挑戰第二條不完全性定理的標準表述。
• 釐清可證明性條件（特別是 D2 和 D3）在決定某理論中一致性陳述是否可證明或不可證明時所起的作用。
• 延續阿伊對羅瑟謂詞的研究，構造出滿足 HB 條件但依然能證明一致性陳述的範例，從而顯示某些條件集合的不足。

提出的方法

• 使用基於分階段證明枚舉和「鈴聲事件」以改變可證明性行為的動態證明搜尋機制，構造三個不同的羅瑟可證明性謂詞。
• 定義一個證明謂詞 Pr₃^R(x)，使得若某公式在某階段前未被其否定證明，則其可被證明，而鈴聲標誌著可證明性規則的轉變。
• 使用克里普克模型論技術和遞歸構造，確保謂詞滿足特定的可證明性條件，如 HB1、HB2、HB3、D1、D2、D3。
• 使用一序列集合 X_m 和 P_T,m 來模擬證明階段，並追蹤在每個階段哪些公式被視為可證明或反證。
• 透過案例分析證明關鍵性質：一種情況假設鈴聲永不會響（一致性），另一種情況假設鈴聲在特定階段響起（檢測不一致性）。
• 透過 PA 中的正式推導驗證謂詞是否滿足所期望的可證明性條件，使用關於證明包含關係和一致性假設的論斷。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否構造出滿足希爾伯特-伯恩AYS可證明性條件（HB1、HB2、HB3）的羅瑟可證明性謂詞，同時仍能證明自身的一致性？
• RQ2 集合 {HB1, HB2, HB3} 是否足夠確保在羅瑟可證明性語境下，一致性陳述的不可證明性？
• RQ3 當限制於羅瑟可證明性謂詞時，希爾伯特-伯恩AYS-洛布條件（D1、D2、D3）是否仍為第二條不完全性定理成立所必需？
• RQ4 羅瑟可證明性謂詞能否滿足 D1 和 D2 但無法證明一致性，或滿足 D1 和 D3 但仍能證明一致性，從而顯示這些條件的獨立性？
• RQ5 在羅瑟式可證明性語境下，可證明性條件與一致性陳述可證明性之間的精確關係為何？

主要发现

• 本文構造了一個羅瑟可證明性謂詞 Pr₃^R，其滿足 HB1、HB2 和 HB3，但卻證明 ¬Pr₃^R(⌜0≠0⌝)，顯示僅憑 HB 條件並不能導致一致性陳述的不可證明性。
• 這表明希爾伯特-伯恩AYS可證明性條件不足以保證第二條不完全性定理成立，與常見假設相反。
• 所構造的謂詞 Pr₃^R 滿足 D1 和 D3，也滿足 HB1、HB2、HB3，但不滿足 D2，從而顯示這些條件的獨立性。
• 證明依賴於一種動態機制，其中在階段 m 的「鈴聲事件」會改變可證明性行為，從而允許即使在標準可證明性條件下也能證明一致性。
• 證明了 Pr₃^R 滿足 ∀x(Pr₃^R(x) → Pr₃^R(⌜Pr₃^R(ẋ)⌝)) 和 ∀x(Prf₃(x,y) → Pr₃^R(x))，確認其在量詞和證明條件下的行為。
• 證明所有真 Δ₀ 句子在 Pr₃^R 下均可證明，顯示該謂詞即使具有非標準行為，仍正確捕捉了有界公式的事實。