[论文解读] Rota-Baxter operators on $ω$-Lie algebras

Yin Chen, Shan Ren+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2026

Advanced Topics in Algebra被引用 0

一句话总结

该论文研究在特征不为2的域上的有限维ω-Lie代数上的Rota-Baxter算子，展示兼容算子如何产生左对称、ω-Lie和Hom-Lie结构，并分析复数域上算子多样体的几何性质。

ABSTRACT

This article explores Rota-Baxter operators on finite-dimensional $ω$-Lie algebras over a field of characteristic not 2. We provide several methods for constructing left-symmetric algebras, $ω$-Lie algebras, and Hom-Lie algebras via compatible Rota-Baxter operators on a given $ω$-Lie algebra. We also study the geometric structures of compatible Rota-Baxter operators of weight $0$ and isometric Rota-Baxter operators of weight $1$ over the field of complex numbers. In particular, we prove that the affine variety of all isometric Rota-Baxter operators of weight $1$ on any finite-dimensional non-Lie complex simple $ω$-Lie algebra is $1$-dimensional. Furthermore, we show that for every $4$-dimensional non-Lie complex $ω$-Lie algebra, there always exists a nilpotent compatible Rota-Baxter operator of weight $0$ such that the induced Hom-Lie algebra is nonabelian but solvable.

研究动机与目标

• 在ω-Lie代数上的Rota-Baxter算子与其他非结合结构之间建立联系。
• 提供通过兼容Rota-Baxter算子构造左对称代数、ω-Lie代数和Hom-Lie代数的方法。
• 研究在C上的兼容性和等距性Rota-Baxter算子多样体的几何结构。
• 对低维ω-Lie代数给出明确的计算与分类。
• 探讨在此情景下对表示理论和可逆导数的含义。

提出的方法

• 定义ω-Lie代数上的权重λ的Rota-Baxter算子及相关算子多样体。
• 使用权重0算子开发ω版本的Golubchik–Sokolov左对称构造（Prop. 2.4）。
• 从兼容的权重0算子构造新的ω-Lie代数（Theorem 2.7）。
• 从nilpotent的兼容权重0算子产生Hom-Lie代数（Theorem 2.12）。
• 将Rota-Baxter算子与自同构、导出及表示联系起来（Prop. 2.1、Prop. 2.14）。
• 利用Gröbner基及计算理想论来确定算子多样体的不可约分量（Section 3）。

实验结果

研究问题

• RQ1 Rota-Baxter算子在ω-Lie代数上如何用于生成新的左对称、ω-Lie和Hom-Lie代数？
• RQ2 兼容性（权重0）与等距性（权重1）Rota-Baxter算子在ω-Lie代数上的多样体的几何结构，特别是在C上，是如何的？
• RQ3 关于低维ω-Lie代数（如3维和4维）在Rota-Baxter算子及其诱导代数的存在性与性质方面有哪些结论？
• RQ4 在有限维非李简单ω-Lie代数上，等距权重1的Rota-Baxter算子是否形成1维仿射多样体？
• RQ5 是否总能在4维非李ω-Lie代数上找到一个nilpotent兼容权重0的Rota-Baxter算子，使得诱导的Hom-Lie结构为非交换但可解？

主要发现

• 所有有限维非李复ω-Lie代数上等距权重1的Rota-Baxter算子构成的仿射多样体为1维（Corollary 3.10）。
• 对于每个4维非李复ω-Lie代数，存在一个nilpotent兼容权重0的Rota-Baxter算子，其诱导的Hom-Lie代数是非阿贝尔但可解的（Corollary 4.7）。
• ω-版本的Golubchik–Sokolov构造从权重0的Rota-Baxter算子得到左对称代数，其像在ker(ω)中（Prop. 2.4, Example 2.5）。
• 存在兼容的Rota-Baxter算子与通过R^{-1的自同态导数之间的对应关系（Prop. 2.1 and Remarks 2.2–2.3）。
• 在3维情形下，B^c(L1)是一个仿射多样体，具有两个3维不可约分量（Prop. 3.2, Corollary 3.5）。
• 从给定ω-Lie代数L及其兼容权重0算子R出发，可以迭代构造新的ω-Lie代数L_R（Remark 2.11）。