[论文解读] Rotation numbers for planar attractors of equivariant homeomorphisms

Begoña Alarcón|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用 6

一句话总结

该论文在平面上构造了具有原点处渐近稳定不动点和无理旋转数的 $ζ_m$-等变、保向、耗散同胚。通过将Denjoy映射构造方法适配到对称情形，证明了此类映射可诱导圆周上具有 $ζ_m$-等变性的Denjoy映射，从而表明 $ζ_m$-对称性并不强制旋转数为有理数，因此反驳了对称系统中旋转数必为有理数的先前预期。

ABSTRACT

Given an integer m>1 we consider Zm-equivariant and orientation preserving homeomorphisms in the plane with an asymptotically stable fixed point at the origin. We present examples without periodic points and having some complicated dynamical features. The key is a preliminary construction of Zm-equivariant Denjoy maps of the circle.

研究动机与目标

• 研究平面中 $ζ_m$-等变动力系统是否必然导致有理旋转数，挑战‘对称性意味着有理性’的假设。
• 通过在圆周上构造 $ζ_m$-等变Denjoy映射，将Denjoy映射理论扩展到对称情形。
• 证明存在具有无理旋转数且除不动点外无周期点的 $ζ_m$-等变、耗散平面同胚。
• 表明具有 $ζ_m$-对称性的平面同胚的旋转数并不被限制为有理数，即使不动点是渐近稳定的。

提出的方法

• 通过确保最小Cantor集 $C$ 在旋转 $2\pi/m$ 下不变，构造圆周上的 $ζ_m$-等变Denjoy映射。
• 利用端点理论，为具有无界且适当的吸引 basin 的平面同胚关联旋转数。
• 在极坐标下定义平面同胚 $h$，其中 $\theta_1 = f(\theta)$ 且 $\rho_1 = R(\theta, \rho)$，其中 $f$ 为对称的Denjoy映射，$R$ 为径向收缩函数。
• 通过使控制径向动力学的 $\Pi(\theta)$ 在 $\theta \mapsto \theta + 1/m$ 下不变，确保 $R(\theta, \rho)$ 为 $\u03b6_m$-等变。
• 通过验证对所有 $k = 0, \dots, m-1$ 有 $f(\theta + k/m) = f(\theta) + k/m$ 和 $\Pi(\theta + k/m) = \Pi(\theta)$，证明 $h$ 为 $\u03b6_m$-等变。
• 利用文献[3]中的结果：任何圆周上的Denjoy映射均可提升为具有相同旋转数的可接受平面同胚。

实验结果

研究问题

• RQ1 $ζ_m$-等变平面同胚是否可能具有无理旋转数？
• RQ2 $ζ_m$-对称性是否必然导致耗散系统中旋转数为有理数？
• RQ3 是否可以构造一种具有最小Cantor集的Denjoy型动力系统，使其与 $\u03b6_m$-旋转可交换？
• RQ4 是否可能构造一个具有渐近稳定不动点且除原点外无其他周期点的 $ζ_m$-等变平面同胚？

主要发现

• 该论文构造了圆周上的 $ζ_m$-等变Denjoy映射，其最小Cantor集在旋转 $2\pi/m$ 下不变。
• 证明了存在一个 $ζ_m$-等变、耗散、保向的平面同胚，其在原点处具有渐近稳定不动点且旋转数为无理数。
• 在端点空间上诱导的映射与 $ζ_m$-等变Denjoy映射拓扑共轭，证实对称性在端点结构中得以保持。
• 所构造的同胚除不动点外无任何周期点，尽管存在对称性，但通过Denjoy映射表现出复杂动力学。
• $ζ_m$-对称性并未将旋转数限制为有理数，这与‘此类对称性强制有理性的预期’相矛盾。