[论文解读] Rotation surfaces of constant Gaussian curvature as Riemannian approximation scheme in sub-Riemannian Heisenberg space $\mathbb H^1$

José M. M. Veloso|ArXiv.org|Sep 29, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文比较了子黎曼海森堡空间 $ℝ^1$ 中两种不同的高斯曲率定义：一种基于黎曼逼近极限（$K^\infty$），另一种基于高斯映射形式（$K$）。研究证明这两种曲率并不相等，其中 $K^\infty = -dA(f_2) - A^2$ 仅依赖于函数 $A$，并表明在黎曼逼近框架下的高斯-博内定理由斯托克斯定理由恒等式 $K^\infty d\sigma = d(k_n ds)$ 直接导出。本文对所有具有常数 $K^\infty$ 的旋转对称曲面进行了分类，根据曲率符号识别出三种类型：椭圆型、抛物型和双曲型。

ABSTRACT

We verify if Gausssian curvature of surfaces and normal curvature of curves in surfaces introduced by Diniz-Veloso arXiv:1210.7110 and by Balogh-Tyson-Vecchi arXiv:1604.00180 to prove Gauss-Bonnet theorems in Heisenberg space $\mathbb H^1$ are equal. The authors in arXiv:1604.00180 utilize a limit of Gaussian and normal curvatures defined in the Riemannian approximations scheme $(\mathbb R^3,g_L)$ introduced by Gromov to study sub-Riemannian spaces. They show that these limits exist (unlike the limit of Riemannian surface area form or length form), and they obtain Gauss-Bonnet theorem in $\mathbb H^1$ as limit of Gauss-Bonnet theorems in $(\mathbb R^3,g_L)$ when $L$ goes to infinity. The approach in arXiv:1210.7110 uses an analogous of Gauss map defined in the unitary cylinder and they show that the curvature defined by the Gauss map corresponds to the curvature of covariant derivative which is null on left invariant vector fields of $\mathbb H^1$. The proof of Gauss-Bonnet theorem follows as the classical one. Curvatures do not coincide. For comparison sake we apply the same formalism of arXiv:1210.7110 to get the curvatures of arXiv:1604.00180 . With the obtained formulas, it is possible to prove the Gauss-Bonnet theorem in arXiv:1604.00180 as a straightforward application of Stokes theorem. To exemplify the Gaussian curvature of arXiv:1604.00180 we calculate the rotation surfaces of constant curvature in $\mathbb H^1$, which are only of three types.

研究动机与目标

• 比较子黎曼海森堡空间 $\mathbb{H}^1$ 中基于黎曼逼近的高斯曲率 $K^\infty$ 与基于高斯映射的曲率 $K$。
• 证明 $K^\infty$ 仅依赖于函数 $A$，该函数编码了在黎曼极限下曲面法向量的垂直分量。
• 证明在黎曼逼近框架下，高斯-博内定理由斯托克斯定理由恒等式 $K^\infty d\sigma = d(k_n ds)$ 直接导出。
• 对 $\mathbb{H}^1$ 中所有具有常数 $K^\infty$ 的旋转对称曲面进行分类，识别出三种不同的几何类型。

提出的方法

• 在 $(\mathbb{R}^3, g^L)$ 上推导出 $\mathbb{H}^1$ 中曲面的黎曼高斯曲率 $K^L$，取极限 $L \to \infty$ 得到 $K^\infty = -dA(f_2) - A^2$。
• 应用文献 [3] 中的高斯映射形式，计算曲率 $K = d\alpha \wedge dA(f_3, f_2)$，其与 $K^\infty$ 不同。
• 采用绕 $z$-轴旋转的曲面参数化 $(r(t), 0, c(t))$，并利用条件 $\theta' = \sqrt{1 - (r')^2}/r$ 确保曲线为水平曲线。
• 推导出常数 $K^\infty$ 的曲面对应的常微分方程组：$K^\infty + \frac{d^2}{dt^2}(\ln r^2) + \frac{d}{dt}(\ln r^2) = 0$ 与 $c' = \frac{1}{2}r\sqrt{1 - (r')^2}$。
• 对 $K^\infty > 0$、$K^\infty = 0$ 和 $K^\infty < 0$ 的情形求解常微分方程，得到以三角函数、代数函数和双曲函数表示的显式解。
• 验证所得曲面仅在有限定义域内有定义，其定义域由常微分方程中根号内表达式的正性决定。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{H}^1$ 中，基于黎曼逼近的高斯曲率定义（$K^\infty$）与基于高斯映射的定义（$K$）是否一致？
• RQ2 常数 $K^\infty$ 对曲面几何数据（特别是函数 $A$）的显式依赖关系是什么？
• RQ3 在黎曼逼近框架下，是否可直接由斯托克斯定理（无需取极限）通过恒等式 $K^\infty d\sigma = d(k_n ds)$ 推导出高斯-博内定理？
• RQ4 在 $\mathbb{H}^1$ 中，具有常数 $K^\infty$ 的所有旋转对称曲面的完整族是什么？它们与欧氏空间中常曲率曲面在几何上如何不同？
• RQ5 对于 $K^\infty > 0$、$K^\infty = 0$ 和 $K^\infty < 0$ 的曲面，其显式参数解和定义域限制分别是什么？

主要发现

• 基于黎曼逼近的曲率 $K^\infty$ 与基于高斯映射的曲率 $K$ 不相等；$K^\infty = -dA(f_2) - A^2$，而 $K = d\alpha \wedge dA(f_3, f_2)$，且后者在 $L \to \infty$ 时趋于零。
• 极限曲率 $K^\infty$ 仅依赖于函数 $A$，该函数衡量了在黎曼极限下曲面法向量的垂直偏离程度，且与 $\alpha$ 无关。
• 恒等式 $K^\infty d\sigma = d(k_n ds)$ 成立，使得在黎曼逼近框架下，高斯-博内定理由斯托克斯定理可直接推导，无需取极限。
• 对于旋转对称曲面，常微分方程组简化为 $K^\infty + \frac{d^2}{dt^2}(\ln r^2) + \frac{d}{dt}(\ln r^2) = 0$，且 $c' = \frac{1}{2}r\sqrt{1 - (r')^2}$，其解按 $K^\infty$ 的符号明确分类。
• 存在且仅存在三类具有常数 $K^\infty$ 的旋转曲面：(1) $K^\infty > 0$ 时，$r(v) = r_0\sqrt{\cos(\sqrt{K^\infty}v)}$；(2) $K^\infty = 0$ 时，$r(v) = r_0\sqrt{v}$；(3) $K^\infty < 0$ 时，$r(v) = r_0\sqrt{\cosh(\sqrt{-K^\infty}v)}$，每类均仅在有限区间内有定义。
• 曲面通过水平曲线可视化，其定义域受 $1 - (r')^2 \geq 0$ 的约束，导致 $K^\infty > 0$ 和 $K^\infty < 0$ 的曲面存在有限区间，而 $K^\infty = 0$ 要求 $v > 0$。