[论文解读] Rotationally invariant hypersurfaces with constant mean curvature in the Heisenberg group H^n

Manuel Ritoré, César Rosales|ArXiv.org|Apr 21, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 4被引用 16

一句话总结

本文通过利用旋转对称性将Heisenberg群 ℍⁿ 中常平均曲率（CMC）的偏微分方程约化为常微分方程组，对旋转对称的CMC超曲面进行了分类。关键结果建立了Heisenberg群中Delaunay分类的类比，识别出CMC超曲面为扭结面、球面和双曲面，并证明：在所有紧致、嵌入、旋转对称的CMC超曲面中，唯一的是H > 0时的球面S_H。

ABSTRACT

In this paper we study sets in the $n$-dimensional Heisenberg group $\hhn$ which are critical points, under a volume constraint, of the sub-Riemannian perimeter associated to the distribution of horizontal vector fields in $\hhn$. We define a notion of mean curvature for hypersurfaces and we show that the boundary of a stationary set is a constant mean curvature (CMC) hypersurface. Our definition coincides with previous ones. Our main result describes which are the CMC hypersurfaces of revolution in $\hhn$. The fact that such a hypersurface is invariant under a compact group of rotations allows us to reduce the CMC partial differential equation to a system of ordinary differential equations. The analysis of the solutions leads us to establish a counterpart in the Heisenberg group of the Delaunay classification of constant mean curvature hypersurfaces of revolution in the Euclidean space. Hence we classify the rotationally invariant isoperimetric sets in $\hhn$.

研究动机与目标

• 对n维Heisenberg群 ℍⁿ 中旋转对称的常平均曲率（CMC）超曲面进行表征。
• 定义并证明一种在 ℍⁿ 中的超曲面平均曲率的定义，使其与文献中既有的定义一致。
• 确定 ℍⁿ 中旋转对称的CMC超曲面的存在形式，将经典Delaunay分类推广至子黎曼几何设定。
• 识别 ℍⁿ 中旋转对称的等周集，这些集合在体积约束下最小化周长，具有关键作用。

提出的方法

• 利用水平向量场和De Giorgi周长公式，定义 ℍⁿ 中的子黎曼周长。
• 将平均曲率定义为超曲面上水平单位法向量场 ν_H 的黎曼散度。
• 利用关于t轴的旋转对称性，将CMC偏微分方程约化为变量(x, σ, t)下的常微分方程组。
• 使用几何与分析技术（包括黎曼曲面上全纯一形式的应用）分析所得的常微分方程组。
• 应用对称性与反射原理，从常微分方程组的局部解构造出完备且嵌入的解。
• 利用复分析计算与t坐标相关的积分，并证明t₂ > 0，从而表明存在自交现象并呈现扭结面几何特征。

实验结果

研究问题

• RQ1 在Heisenberg群 ℍⁿ 中，哪些是完备、嵌入、旋转对称的常平均曲率超曲面？
• RQ2 在 ℍⁿ 中，CMC方程在旋转对称性下的行为如何？会涌现出何种类型的解？
• RQ3 能否将欧几里得空间中常平均曲率曲面的Delaunay分类推广至 ℍⁿ 的子黎曼设定？
• RQ4 在 ℍⁿ 中，旋转对称的等周集是否与例4.2中描述的球面S_H合同？
• RQ5 当平均曲率H ≠ 0且能量E > 0时， ℍⁿ 中CMC超曲面的几何结构是怎样的？

主要发现

• 在 ℍⁿ 中，唯一紧致、嵌入、旋转对称的CMC超曲面是H > 0时的球面S_H，如例4.2所述。
• 当H > 0且E > 0时，所得超曲面具有周期性、嵌入性，其形状类似于欧几里得空间中的扭结面，由于t₂ > 0而存在自交现象。
• 在 ℍⁿ 中，唯一极小（H = 0）的旋转对称超曲面是垂直于t轴的欧几里得平面以及类双曲面（catenoidal-type）曲面。
• 所构造的CMC超曲面由x(t)关于t的图像曲线生成，其中x(t)在不同区间严格递减且具有凹/凸性。
• t₂积分（表示返回对称位置所需的时间）严格为正，证实了其具有扭结面结构，且该曲面非紧致。
• 通过在与w² = x^{4n−2} − (E + Hx^{2n})²相关的黎曼曲面上使用全纯一形式，可精确计算t₂积分，从而证明t₂ > 0。