[论文解读] Rotationally Invariant Singular Solutions to the Kapustin-Witten Equations

Siqi He|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2015

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文在四维欧几里得空间和 $S^3 imes (0,ty)$ 上，利用四元数形式的假设，构造了旋转对称的奇点解，推导出非线性常微分方程，并显式求解这些方程，得到具有奇点虚部的衰减有理函数解，确立了瞬子数，并证明了某些解满足 Nahm 极点边界条件，为 Witten 关于琼斯多项式不变量的猜想提供了模型解。

ABSTRACT

In the present paper, we find a system of non-linear ODEs that gives rotationally invariant solutions to the Kapustin-Witten equations in 4-dimensional Euclidean space. We explicitly solve these ODEs in some special cases and find decaying rational solutions, which provide solutions to the Kapustin-Witten equations. The imaginary parts of the solutions are singular. By rescaling, we find some limit behavior for these singular solutions. In addition, for any integer $k$, we can construct a 5$|k|$ dimensional family of $C^1$ solutions to the Kapustin-Witten equations on Euclidean space, again with singular imaginary parts. Moreover, we find solutions to the Kapustin-Witten equations over $S^3 imes (0,+\infty)$ with the Nahm pole boundary condition.

研究动机与目标

• 在非紧致四维流形上构造 Kapustin-Witten 方程的显式奇点解，特别是具有奇点边界条件的解。
• 探讨奇点解在 Witten 的规范理论方法研究琼斯多项式与 Khovanov 上同调中的作用。
• 研究 Uhlenbeck 型泡现象或非紧致性是否会在 Kapustin-Witten 方程的解中出现。
• 建立所找到的奇点解与 $S^3 \times (0,\infty)$ 上 Nahm 极点边界条件之间的联系。
• 将 ADHM 构造推广，以生成具有瞬子数 $k$ 的 $5|k|$ 维 $C^1$ 解族。

提出的方法

• 使用四元数参数化 $\mathbb{R}^4$ 上的规范场和希格斯场，将 $\mathbb{R}^4$ 识别为 $\mathbb{H}$。
• 在旋转对称条件下，从 Kapustin-Witten 方程推导出一组非线性常微分方程。
• 引入一个首次积分以约化常微分方程组，并显式地用 $|x|$ 的有理函数表示解。
• 应用共形变换，将 $\mathbb{R}^4$ 上的解映射到 $S^3 \times (0,\infty)$ 上的解，揭示 Nahm 极点行为。
• 使用 $\mathrm{Im}(\bar{x}dx)$ 形式，以 $S^3$ 上的正交共标架表达规范场和希格斯场，从而分析边界条件。
• 将 ADHM 构造推广，为每个整数 $k$ 生成一个 $5|k|$ 维解族，其解具有奇点虚部。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $\mathbb{R}^4$ 上构造 Kapustin-Witten 方程的显式旋转对称奇点解？
• RQ2 这些解通过共形变换映射到 $S^3 \times (0,\infty)$ 时，是否表现出 Nahm 极点边界条件？
• RQ3 所构造解的瞬子数是多少？能否将其推广到更高瞬子数？
• RQ4 Uhlenbeck 泡现象是否可能在 Kapustin-Witten 方程的解中出现？这些解是否能模拟此类行为？
• RQ5 对每个整数 $k$，是否存在一个 $5|k|$ 维的 $C^1$ 解族，其解具有奇点虚部？

主要发现

• 本文在 $\mathbb{R}^4$ 上显式构造了 Kapustin-Witten 方程的旋转对称解，其解具有衰减的有理函数形式和奇点虚部。
• 对任意非零实数 $C$，解在无穷远处趋于零，瞬子数为零，且当 $C \to \infty$ 时，$|F_A|$ 收敛于原点处的狄拉克测度。
• $\phi$ 在 $|x| = 1/\sqrt{C}$ 处的极点奇点无法通过 $SU(2)$ 规范变换消除。
• 对每个整数 $k$，构造了一个 $5|k|$ 维的 $C^1$ 解族，其解具有奇点虚部，包括瞬子数为 $\pm1$ 的解。
• 在 $S^3 \times (0,\infty)$ 上找到两个解满足 Nahm 极点边界条件，其瞬子数分别为 $+\frac{1}{2}$ 和 $-\frac{1}{2}$。
• 共形变换将 $\mathbb{R}^4$ 上的奇点解映射为 $S^3 \times (0,\infty)$ 上的解，确认了在 $y \to 0^+$ 极限下的 Nahm 极点行为。