[论文解读] Rough differential equations on Besov spaces

David J. Prömel, Mathias Trabs|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 26被引用 1

一句话总结

该论文将paracontrolled distribution方法从H"older空间推广至一般Besov空间，使得在这些更广泛函数空间中的信号能够求解随机微分方程（RDEs）。关键贡献是一个统一框架，涵盖H"older与p-variation设定，实现了在Besov拓扑下对由随机函数和高斯过程驱动的路径式随机微分方程的求解。

ABSTRACT

Rough differential equations are solved for signals in general Besov spaces unifying in particular the known results in Holder and p-variation topology. To this end the paracontrolled distribution approach, which has been introduced by Gubinelli, Imkeller and Perkowski [18] to analyze singular stochastic PDEs, is extended from Holder to Besov spaces. As an application we solve stochastic differential equations driven by random functions in Besov spaces and Gaussian processes in a pathwise sense.

研究动机与目标

• 将paracontrolled distribution方法从H"older空间推广至一般Besov空间。
• 建立不同正则性范围下粗糙微分方程的统一解理论。
• 在路径式框架下求解由Besov空间中随机信号驱动的随机微分方程。
• 将奇异SPDE技术的适用范围扩展至更广泛的不规则信号类别。

提出的方法

• 将原本为奇异随机PDE开发的paracontrolled distribution框架，适配至一般Besov空间中的函数。
• 利用paraproducts和paradifferential微积分，对粗糙信号中的非线性相互作用进行分解与控制。
• 基于通过paracontrolled结构对信号进行正则部分与奇异部分的分解，定义RDE的解的概念。
• 在Besov范数下建立先验估计，以确保解的存在性与唯一性。
• 将该方法应用于Besov空间中的高斯过程与随机函数，实现路径式解的构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 paracontrolled distribution方法能否从H"older空间推广至一般Besov空间，以求解粗糙微分方程？
• RQ2 在Besov空间中RDE的解理论如何统一此前在H"older与p-variation设定下的已知结果？
• RQ3 在Besov空间中，驱动信号需满足何种条件，才能保证粗糙微分方程路径式解的存在性与唯一性？
• RQ4 能否利用该框架以路径式方式求解由Besov空间中高斯过程或随机函数驱动的随机微分方程？

主要发现

• paracontrolled distribution方法成功从H"older空间推广至一般Besov空间，为粗糙微分方程建立了更广泛的解理论。
• 该框架统一了H"older与p-variation拓扑下的现有结果，提供了共同的分析基础。
• 成功建立了由随机函数和高斯过程在Besov空间中驱动的随机微分方程的路径式解。
• 在驱动信号满足适当的Besov范数条件时，该方法可确保解的存在性与唯一性。