[论文解读] Rough sets and three-valued structures

Luisa Iturrioz|arXiv (Cornell University)|May 19, 2019

Rough Sets and Fuzzy Logic参考文献 5被引用 9

一句话总结

本文通过证明近似空间中的下近似和上近似诱导出到三值 Łukasiewicz 代数的同态，建立了粗糙集与三值 Łukasiewicz 代数之间强有力的代数联系。其主要贡献在于一个表示定理，证明粗糙集可通过保持结构的映射忠实嵌入此类代数中，且通过 Monteiro 的构造，使隶属函数能一致地扩展到代数运算。

ABSTRACT

In recent years, many papers have been published showing relationships between rough sets and some lattice theoretical structures. We present here some strong relations between rough sets and three-valued Łukasiewicz algebras.

研究动机与目标

• 探索粗糙集的代数结构及其与多值逻辑的关系。
• 建立粗糙集理论与三值 Łukasiewicz 代数之间的正式联系。
• 利用一元布尔代数和同余关系，将粗糙集上的隶属函数扩展到代数运算。
• 证明粗糙集框架可以在三值 Łukasiewicz 逻辑的代数语义中得到表示。

提出的方法

• 利用信息系统中的不可分辨关系在对象幂集上生成一元布尔代数。
• 应用 Monteiro 的构造，基于下近似和上近似定义幂集上的同余关系 ≡。
• 在商代数上定义新运算 ∩dot 和 ⊕，构成三值 Łukasiewicz 代数。
• 构造从商代数到 Łukasiewicz 代数的素滤子集合的映射 h，证明其为同态。
• 利用 Moisil 确定性原理证明映射 h 是单射，确保忠实表示。
• 使用值上的最大和最小运算，将隶属函数 μ_A: Ob → {0, 1/2, 1} 扩展到运算 ∩dot、⊕ 和 ¬。

实验结果

研究问题

• RQ1 粗糙集能否被代数地嵌入三值 Łukasiewicz 代数？
• RQ2 下近似和上近似运算与 Łukasiewicz 逻辑中的联结词有何关系？
• RQ3 是否存在一种一致的方法，将粗糙集上的隶属函数扩展到代数运算？
• RQ4 能否利用一元布尔代数的结构，通过同余关系生成 Łukasiewicz 代数？

主要发现

• 从商代数 P(Ob)/≡ 到三值 Łukasiewicz 代数的素滤子的映射 h 是良定义的同态。
• 同态 h 是单射，证明粗糙集可被忠实表示在三值 Łukasiewicz 代数中。
• 隶属函数 μ_A 可通过值上的最大和最小运算，一致地扩展到运算 ∩dot 和 ⊕。
• 对所有 x ∈ Ob，有 λ_{A⊕B}(x) = max(μ_A(x), μ_B(x))。
• 商代数上的运算 ∩dot 和 ⊕ 满足 M(A∩dot B) = MA ∩ MB 和 M(A⊕B) = MA ∪ MB。
• 商系统 (P(Ob)/≡, ∩dot, ⊕, ∼, ▽, 1) 的代数结构与一个三值 Łukasiewicz 代数同构。