[论文解读] Rough solutions of the Einstein constraint equations with nonconstant mean curvature

M. Holst, J. Kommemi+1 more|ArXiv.org|Aug 24, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 46被引用 7

一句话总结

本文通过广义Korn不等式、有序巴拿赫空间中的边界层方法以及变分技术，证明了在具有边界的紧致3-流形上，具有非恒定平均曲率的爱因斯坦约束方程弱解的存在性。对于哈密顿约束，证明了解在 $L^∞ \cap W^{1,2}$ 中的存在性，并将耦合系统中的正则性扩展至 $W^{1,p}$（$p>3$），涵盖任意符号的标量曲率及一般物质源项。

ABSTRACT

We consider the conformal decomposition of Einstein's constraint equations introduced by Lichnerowicz and York, on a compact manifold with boundary. We use order relations on appropriate Banach spaces to derive weak solution generalizations of known sub- and super-solutions (barriers) for the Hamiltonian constraint. The barriers are combined with variational methods to establish existence of solutions to the Hamiltonian constraint in the intersection of the space of essentially bounded functions and the Sobolev space H1. The result is established for scalar curvature R of the background metric having any sign; non-negative R requires additional positivity assumptions either on the matter energy density or on the trace-free divergence-free part of the extrinsic curvature. Although the formulation is different, the result can be viewed as lowering the regularity of the recent result of Maxwell on rough CMC solutions. We also establish existence of non-CMC solutions of the Hamiltonian and momentum constraint equations. The result is obtained using fixed-point iteration and compactness arguments directly, rather than by building a contraction map. The non-CMC result can be viewed as a type of extension of the regularity of the 1996 non-CMC result of Isenberg and Moncrief to lower regularity and to scalar curvature R having any sign.

研究动机与目标

• 在具有边界的紧致3-流形上，建立具有非恒定平均曲率的爱因斯坦约束方程弱解的存在性。
• 将先前工作的正则性结果——特别是Maxwell的 $W^{k,2}$（$k>3/2$）以及Isenberg-Moncrief的 $W^{1,p}$（$p>3$）——推广至哈密顿约束的更广类 $L^\infty \cap W^{1,2}$。
• 在具有边界的流形上建立广义Korn不等式，这是此前文献中尚未出现的新技术工具。
• 通过处理任意符号的标量曲率和一般物质能量条件，统一并扩展了共形方法的先前结果。
• 通过不动点迭代与紧致性（而非压缩映射）证明在 $W^{1,p}$（$p>3$）中三度规和在 $L^q$（$q=6p/(3+p)$）中第二基本形式的非CMC解的存在性。

提出的方法

• 采用Lichnerowicz和York的共形分解方法，将欠定系统约化为共形因子与向量场的耦合椭圆系统。
• 在具有边界的流形上应用广义Korn不等式，以在弱正则性假设下控制动量约束算子。
• 在有序巴拿赫空间中利用序关系与边界层方法，构造哈密顿约束的下解与上解。
• 在 $W^{1,2}$ 与 $L^\infty$ 空间中使用变分方法，通过能量最小化与紧致性论证证明解的存在性。
• 通过不动点迭代与紧致性论证（非压缩映射）求解 $W^{1,p}$（$p>3$）中的耦合系统。
• 利用最大值原理与有序巴拿赫空间中的单调性，建立 $W^{1,2}$-解的先验 $L^\infty$ 估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在数据正则性假设最小且标量曲率符号任意的条件下，是否可在 $L^\infty \cap W^{1,2}$ 中构造哈密顿约束的弱解？
• RQ2 当标量曲率为非负时，对物质能量密度或第二基本形式的迹零部分的最小假设是什么，才能保证解的存在性？
• RQ3 如何在具有边界的流形上建立广义Korn不等式，以支持在弱正则性下的动量约束分析？
• RQ4 非CMC解的正则性在多大程度上可超越先前结果，特别是推广至 $W^{1,p}$（$p>3$）？
• RQ5 是否可通过不动点迭代与紧致性（而非依赖压缩映射技术）证明非CMC解的存在性？

主要发现

• 本文通过边界层方法与变分技术，在 $L^\infty \cap W^{1,2}$ 中建立了哈密顿约束解的存在性，即使标量曲率 $R$ 具有任意符号亦成立。
• 当 $R$ 非负时，需对物质能量密度或第二基本形式的迹零且无散部分施加额外的正性假设，以保证解的存在性。
• 在具有边界的流形上导出了广义Korn不等式，为在弱正则性下分析动量约束提供了关键技术工具。
• 耦合系统在 $W^{1,p}$ 中存在解（三度规），且在 $L^q$（$q=6p/(3+p)$）中存在解（第二基本形式），其中 $p>3$，通过不动点迭代与紧致性方法实现。
• 结果将Maxwell近期关于粗糙CMC解的工作从 $W^{k,2}$（$k>3/2$）推广至 $L^\infty \cap W^{1,2}$，并将Isenberg-Moncrief的非CMC结果扩展至 $W^{1,p}$（$p>3$）与任意 $R$。
• 该框架具有鲁棒性，经轻微修改后可推广至更高维及其它几何设定（如闭流形或开流形）。