[论文解读] Rough volatility, path-dependent PDEs and weak rates of convergence

Ofelia Bonesini, Antoine Jacquier+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2023

Stochastic processes and financial applications被引用 6

一句话总结

该论文证明了在粗糙波动率模型中，条件数学期望是通过泛函伊藤公式推导出的路径相关偏微分方程的唯一经典解。论文推导出二次测试函数的弱收敛速率为1阶，对于光滑函数的弱收敛速率为$ H + \frac{1}{2} $，适用于赫斯特定征参数$ H \in (0, \frac{1}{2}) $的随机伏尔塔拉方程，解决了粗糙波动率模型下数值定价中的一个关键挑战。

ABSTRACT

In the setting of stochastic Volterra equations, and in particular rough volatility models, we show that conditional expectations are the unique classical solutions to path-dependent PDEs. The latter arise from the functional Itô formula developed by [Viens, F., & Zhang, J. (2019). A martingale approach for fractional Brownian motions and related path dependent PDEs. Ann. Appl. Probab.]. We then leverage these tools to study weak rates of convergence for discretised stochastic integrals of smooth functions of a Riemann-Liouville fractional Brownian motion with Hurst parameter $H \in (0,\frac{1}{2})$. These integrals approximate log-stock prices in rough volatility models. We obtain the optimal weak error rates of order $1$ if the test function is quadratic and of order $(3H+\frac{1}{2})\wedge1$ if the test function is five times differentiable; in particular these conditions are independent of the value of $H$.

研究动机与目标

• 建立粗糙波动率模型中条件数学期望与路径相关偏微分方程经典解之间的严格联系。
• 分析赫斯特定征参数$ H \in (0, \frac{1}{2}) $的黎曼-刘维尔分数布朗运动随机积分离散化方案的弱收敛速率。
• 解决粗糙波动率模型数值方案中弱收敛速率的开放问题，特别是在强收敛速率过慢时的情形。
• 为粗糙波动率模型下的期权定价应用提供定量的弱误差界，明确依赖于赫斯特定征参数$ H $。

提出的方法

• 利用具有有限二次变差过程的泛函伊藤公式，推导出条件数学期望的路径相关偏微分方程表示。
• 将泛函伊藤微积分应用于具有分数布朗运动的随机伏尔塔拉方程（SVEs），将其与具有非马氏结构的偏微分方程联系起来。
• 采用马利亚文微积分与维纳 chaos 展开，将弱误差分解为包含马利亚文导数和 chaos 系数的分量。
• 通过迭代核与 chaos 展开系数的显式界来控制弱收敛分析中的误差项。
• 应用 BDG 型不等式，并对黎曼-刘维尔分数布朗运动的协方差结构进行估计，以推导收敛速率。
• 对误差分量进行详细的渐近分析，区分欧拉方案中漂移项与扩散项引起的误差分量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在赫斯特定征参数$ H \in (0, \frac{1}{2}) $的粗糙波动率模型中，对数价格过程的欧拉方案的弱收敛速率是多少？
• RQ2 粗糙波动率模型中的条件数学期望能否被表征为路径相关偏微分方程的经典解？
• RQ3 收益函数的正则性与赫斯特定征参数$ H $如何共同影响弱误差速率？
• RQ4 弱误差对测试函数$ \phi $的光滑性与波动率函数$ \psi $的精确依赖关系是什么？

主要发现

• 对于二次测试函数，弱收敛速率为1阶，显著高于强收敛速率$ H $阶。
• 对于光滑测试函数，弱收敛速率为$ H + \frac{1}{2} $，优于强收敛速率，在给定假设下为最优。
• 粗糙波动率模型中的条件数学期望是通过泛函伊藤公式推导出的路径相关偏微分方程的唯一经典解。
• 该分析依赖于将弱误差分解为马利亚文导数项与 chaos 展开系数，每一项均通过显式核估计进行有界控制。
• 在$ \phi $与$ \psi $的较弱正则性条件下，可建立$ H + \frac{1}{2} $的收敛速率，包括$ \phi \in \mathcal{C}_p^{2+\lceil \frac{1}{2H} \rceil} $的情形。
• 结果证明，即使在$ H $较小时，蒙特卡洛模拟在粗糙波动率模型中的使用也是合理的，因为弱误差衰减速率与强收敛速率无关。