[论文解读] Roughness of level sets of differentiable maps on Heisenberg group

Artem Kozhevnikov|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2011

Topological and Geometric Data Analysis被引用 5

一句话总结

本文研究了在海森堡群上可微映射的水平集的度量性质，重点关注 $ C^1_H $ 映射 $ F: \mathbb{H}^1 \to \mathbb{R}^2 $，其水平微分满射但不分解。结果表明，此类水平集在子黎曼度量下可能具有不规则性、$ \varepsilon $-雷芬贝格平坦性，且豪斯多夫维数为 2，但在欧氏度量下其维数可在 $[1,2]$ 间变化，并给出了通过 $ d_\infty $-距离的离散和表示的子黎曼面积的精确余面积公式。

ABSTRACT

We investigate metric properties of level sets of horizontally differentiable maps defined on the first Heisenberg group $(\Bbb{H}^1,d_{cc})$ equipped with the standard sub-Riemannian structure. In particular, we present an exhaustive analysis in a new case of a map $F\in C^1_H(\Bbb{H}^1, \Bbb{R}^2)$ with surjective horizontal differential (an analogue of the classical implicit function theorem). Among other results, we show that a level set of such map is locally a simple curve of Hausdorff sub-Riemannian dimension 2, but, surprisingly, in general its two-dimensional Hausdorff measure can be zero or infinity. Therefore, those level sets (called extsf{vertical curves}) can be of rough nature and not belong to the class of intrinsic regular manifolds.

研究动机与目标

• 理解当水平微分满射但不分解时，海森堡群 $ \mathbb{H}^1 $ 上 $ C^1_H $ 映射的水平集的几何与度量结构。
• 研究此类水平集在子黎曼度量与欧氏度量下的正则性与维数。
• 通过 $ d_\infty $-距离的离散逼近，建立子黎曼豪斯多夫测度 $ \mathcal{H}^2_\infty $ 的余面积公式。

提出的方法

• 通过群扩张的不分解性作为关键障碍，分析 $ \mathbb{H}^1 $ 上水平微分 $ D_hF $ 的内在可微性与满射性。
• 应用雷芬贝格平坦性刻画 $ F^{-1}(0) $ 的局部几何，表明在小尺度下 $ \varepsilon \to 0 $ 一致成立。
• 利用拟度量结构与水平集上的 $ d_\infty $-度量，通过离散和定义并计算子黎曼面积。
• 通过极限 $ \sum d_\infty(A_i, A_{i+1})^2 $ 推导余面积公式，关联到内在面积测度。
• 研究竖直曲线作为水平集，通过阿赫夫罗斯正则性与斯特尔吉乌斯型积分分析其正则性。
• 通过间隙级数与粗糙路径提升构造具有可变欧氏维数的示例。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于满足满射 $ D_hF $ 的 $ C^1_H $ 映射 $ F: \mathbb{H}^1 \to \mathbb{R}^2 $，其水平集 $ F^{-1}(0) $ 是否可能在内在意义下不规则，即使它是 $ \varepsilon $-雷芬贝格平坦的？
• RQ2 此类水平集的子黎曼豪斯多夫维数与欧氏豪斯多夫维数之间有何关系？
• RQ3 子黎曼豪斯多夫测度 $ \mathcal{H}^2_\infty $ 是否存在离散余面积公式，表示为沿细分路径的平方 $ d_\infty $-距离的极限？
• RQ4 在何种条件下水平集成为阿赫夫罗斯正则的，这如何影响面积公式？
• RQ5 水平集是否可在保持子黎曼维数为 2 的同时，表现出 $[1,2]$ 区间内任意的欧氏豪斯多夫维数？

主要发现

• 在原点的邻域 $ U $ 内，水平集 $ \Gamma = F^{-1}(0) \cap U $ 是 $ \varepsilon $-雷芬贝格平坦的，且当尺度细化时 $ \varepsilon \to 0 $。
• 集合 $ \Gamma $ 是一条子黎曼维数为 2 的简单弧（即竖直曲线），即 $ \dim_h \Gamma = 2 $。
• 通过间隙级数构造的示例表明，$ \Gamma $ 的欧氏豪斯多夫维数可取 $[1,2]$ 区间内的任意值。
• 子黎曼面积 $ \mathcal{H}^2_\infty(\Gamma) $ 由极限给出：$ \frac{1}{2} \mathcal{S}^2_\infty(\Gamma) = \liminf_{\|\sigma\| \to 0} \sum_{\sigma} d_\infty(A_i, A_{i+1})^2 $，其中 $ \sigma $ 是 $ \Gamma $ 的一个细分。
• 若 $ F \in C^{1,\alpha}_H $ 且 $ \alpha > 0 $，则 $ \Gamma $ 是阿赫夫罗斯正则的，面积公式可表示为斯特尔吉乌斯积分：$ \mathcal{H}^2_\infty(\Gamma) = \frac{1}{2} \int_\Gamma dz + 2 \int_\Gamma x\,dy - 2 \int_\Gamma y\,dx $。
• 水平集不是 $ \mathbb{H}^1 $-正则子流形，表明当水平微分不分解时，内在正则性会失效。