[论文解读] Round Elimination in Exact Communication Complexity

Jop Briët, Harry Buhrman+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 28被引用 10

一句话总结

本文研究精确通信复杂度中的回合消除问题，表明经典协议在承诺相等性问题上始终可简化为单回合协议，而量子协议则表现出根本性的不对称性：对某些问题，单回合与两回合量子复杂度之间存在指数级差距。作者基于正交秩提出了量子色数的层级结构，并证明在列表问题中，量子环境下回合简化不成立，挑战了经典直觉。

ABSTRACT

We study two basic graph parameters, the chromatic number and the orthogonal rank, in the context of classical and quantum exact communication complexity. In particular, we consider two types of communication problems that we call promise equality and list problems. For both of these, it was already known that the one-round classical and one-round quantum complexities are characterized by the chromatic number and orthogonal rank of a certain graph, respectively. In a promise equality problem, Alice and Bob must decide if their inputs are equal or not. We prove that classical protocols for such problems can always be reduced to one-round protocols with no extra communication. In contrast, we give an explicit instance of a promise problem that exhibits an exponential gap between the one- and two-round exact quantum communication complexities. Whereas the chromatic number thus captures the complete complexity of promise equality problems, the hierarchy of "quantum chromatic numbers" (starting with the orthogonal rank) giving the quantum communication complexity for every fixed number of communication rounds thus turns out to enjoy a much richer structure. In a list problem, Bob gets a subset of some finite universe, Alice gets an element from Bob's subset, and their goal is for Bob to learn which element Alice was given. The best general lower bound (due to Orlitsky) and upper bound (due to Naor, Orlitsky, and Shor) on the classical communication complexity of such problems differ only by a constant factor. We exhibit an example showing that, somewhat surprisingly, the four-round protocol used in the bound of Naor et al. can in fact be optimal. Finally, we pose a conjecture on the orthogonality rank of a certain graph whose truth would imply an intriguing impossibility of round elimination in quantum protocols for list problems, something that works trivially in the classical case.

研究动机与目标

• 理解通信回合在精确经典与量子通信复杂度中的作用。
• 分析在量子协议中是否可实现回合消除，特别是对经典情况下显然可简化但量子情况下未必成立的列表问题。
• 利用图参数（如色数与正交秩）刻画承诺相等性与列表问题的通信复杂度。
• 解决关于量子回合复杂度与纠缠辅助协议的开放问题。
• 通过构造具有最优多回合协议的显式例子，研究量子通信中回合简化的局限性。

提出的方法

• 以承诺相等性与列表问题为框架，研究使用精确（确定性）协议的通信复杂度。
• 应用色数 χ(G) 刻画单回合经典通信复杂度，使用正交秩 ξ(G) 刻画单回合量子通信复杂度。
• 通过酉操作与量子态制备构造特定承诺相等性问题，实现仅使用 O(log n) 量子比特的两回合量子协议。
• 利用量子傅里叶变换与受控相位门（Uz）生成正交态，以编码输入差异。
• 利用纠缠与 teleportation 将量子通信模拟为经典比特通信，表明仅使用 ⌈log n⌉ + 3 个经典比特即可实现两回合纠缠辅助协议。
• 应用非定域相关性表明，当共享非定域资源时，列表问题变得平凡：仅需 ⌈log ω(L)⌉ 比特即可实现最优通信。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于承诺相等性问题，经典协议是否总可不增加通信代价地简化为单回合协议？
• RQ2 承诺相等性问题中，是否存在单回合与两回合精确量子通信复杂度之间的指数级差距？
• RQ3 在列表问题中，量子协议是否如经典协议一样可实现回合消除？
• RQ4 正交秩层级是否能完全捕捉列表问题中 r 回合量子协议的复杂度？
• RQ5 对于列表问题，纠缠辅助与非定域协议的最优通信代价是多少？

主要发现

• 对于承诺相等性问题，经典通信复杂度完全由色数刻画，且单回合协议为最优——无需进行回合消除。
• 一个显式构造的承诺相等性问题展现出指数级差距：单回合量子复杂度为 Ω(n)，而两回合协议仅需 O(log n) 量子比特。
• 量子色数层级是非冗余的：更高回合协议可比单回合协议指数级更高效。
• 对于 K-列表问题（K = ∪_{d=n/2}^n L_d），两回合纠缠辅助协议仅使用 ⌈log n⌉ + 3 个经典比特，展现出超越标准量子通信的效率。
• 非定域相关性使所有列表问题变得平凡：仅需 ⌈log ω(L)⌉ 比特的一轮协议即为最优且充分。
• 本文提出一个猜想，若成立，则意味着在列表问题中，量子协议的回合消除不可能实现——与经典情况形成鲜明对比。