[论文解读] Rounding Lasserre SDPs using column selection and spectrum-based approximation schemes for graph partitioning and Quadratic IPs

Venkatesan Guruswami, Ali Kemal Sinop|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 48被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新颖的拉泽尔层次SDP舍入技术，结合列选择与谱近似，显著提升了图划分和二次整数规划问题的近似比。该方法在 $ n^{O(r/\varepsilon^2)} $ 时间内实现了 $ (1+\varepsilon)/\min\{1,\lambda_r\} $ 的近似比，其中 $ \lambda_r $ 是归一化拉普拉斯矩阵的第 $ r $ 个最小特征值，大幅推进了最小割分、稀疏割和唯一博弈等问题的现有技术水平。

ABSTRACT

We present an approximation scheme for minimizing certain Quadratic Integer Programming problems with positive semidefinite objective functions and global linear constraints. This framework includes well known graph problems such as Minimum graph bisection, Edge expansion, Sparsest Cut, and Small Set expansion, as well as the Unique Games problem. These problems are notorious for the existence of huge gaps between the known algorithmic results and NP-hardness results. Our algorithm is based on rounding semidefinite programs from the Lasserre hierarchy, and the analysis uses bounds for low-rank approximations of a matrix in Frobenius norm using columns of the matrix. For all the above graph problems, we give an algorithm running in time $n^{O(r/ε^2)}$ with approximation ratio $\frac{1+ε}{\min\{1,λ_r\}}$, where $λ_r$ is the $r$'th smallest eigenvalue of the normalized graph Laplacian $\mathcal{L}$. In the case of graph bisection and small set expansion, the number of vertices in the cut is within lower-order terms of the stipulated bound. Our results imply $(1+O(ε))$ factor approximation in time $n^{O(r^\ast/ε^2)}$ where is the number of eigenvalues of $\mathcal{L}$ smaller than $1-ε$ (for variants of sparsest cut, $λ_{r^\ast} \ge \mathrm{OPT}/ε$ also suffices, and as $\mathrm{OPT}$ is usually $o(1)$ on interesting instances of these problems, this requirement on $r^\ast$ is typically weaker). For Unique Games, we give a factor $(1+\frac{2+ε}{λ_r})$ approximation for minimizing the number of unsatisfied constraints in $n^{O(r/ε)}$ time, improving upon an earlier bound for solving Unique Games on expanders. We also give an algorithm for independent sets in graphs that performs well when the Laplacian does not have too many eigenvalues bigger than $1+o(1)$.

研究动机与目标

• 弥合已知近似算法与NP难下界之间在最小割分、稀疏割和小集合扩张等基础图划分问题上的长期差距。
• 为具有正定目标函数和全局线性约束的二次整数规划问题，开发一个通用的近似框架。
• 证明当结合谱方法与基于列的舍入策略时，拉泽尔层次可对无已知PTAS的问题提供强近似保证。
• 通过展示谱增长缓慢的图（如平面图或有界树宽图）通常具有良好算法，为这些问题难以证明强不可近似性结果提供理论依据。

提出的方法

• 利用拉泽尔层次的半定规划松弛来捕捉变量间的高阶相关性，其中第 $ r $ 层提供越来越紧的松弛。
• 应用一种新颖的基于列选择的舍入策略，根据变量对SDP解矩阵低秩近似的贡献选择代表性变量。
• 通过列的谱界控制低秩矩阵近似中的误差，尤其关联到归一化拉普拉斯矩阵的第 $ r $ 个最小特征值 $ \lambda_r $。
• 使用切比雪夫不等式与马尔可夫不等式进行概率分析，以限制舍入解偏离目标约束与目标值的偏差。
• 通过分析随机限制下解的方差，提出一种处理打包约束（如割中总权重固定）的框架，以确保质量集中。
• 采用 [GS12a] 中的更快求解器，将实际实现的运行时间减少至 $ 2^{O(r/\varepsilon)}n^{O(1)} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 拉泽尔层次能否被有效舍入，以在标准SDP失效时仍对最小割分和稀疏割等图划分问题实现 $ (1+\varepsilon) $-近似？
• RQ2 归一化拉普拉斯矩阵的第 $ r $ 个最小特征值 $ \lambda_r $ 在决定基于SDP的算法近似比中起什么作用？
• RQ3 为何小集合扩张和唯一博弈等问题的强不可近似性结果（如APX难）长期难以证明？谱特性能否解释这一现象？
• RQ4 能否通过列选择的谱近似技术设计高效舍入方案，用于高层拉泽尔SDP？
• RQ5 归一化拉普拉斯矩阵中低于 $ 1-\varepsilon $ 的特征值数量如何影响算法的运行时间与近似质量？

主要发现

• 该算法对具有正定目标函数的二次整数规划问题，实现了 $ \frac{1+\varepsilon}{\min\{1,\lambda_r\}} $ 的近似比，其中 $ \lambda_r $ 是归一化图拉普拉斯矩阵的第 $ r $ 个最小特征值。
• 对于图二分与小集合扩张问题，割的大小在低阶项内满足所需界限，确保了结构可行性。
• 当 $ \lambda_r \geq \Omega(\varepsilon) $ 时，运行时间为 $ n^{O(r/\varepsilon^2)} $，可实现 $ (1+\varepsilon) $-近似；使用更快求解器后，运行时间优化为 $ 2^{O(r/\varepsilon)}n^{O(1)} $。
• 对于唯一博弈问题，该算法在 $ n^{O(r/\varepsilon)} $ 时间内给出 $ \left(1 + \frac{2+\varepsilon}{\lambda_r}\right) $-近似，优于先前在扩展图上的结果。
• 当拉普拉斯矩阵仅有少量特征值大于 $ 1+o(1) $ 时，该方法对独立集问题也提供了 $ (1+\varepsilon) $-近似，表明其在谱规则图中具有鲁棒性。
• 分析表明，不可近似性结果难以证明，因为归约必须生成谱增长缓慢的图；而这类图通常因结构简单而具有良好算法。