[论文解读] Routing and Sorting Via Matchings On Graphs

Avah Banerjee, Dana Richards|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2016

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文研究了图上通过匹配进行排列路由与排序的问题，提出了一种多项式时间算法，用于判断任意连通图中路由是否可在最多两步内完成。证明了当 k≥3 时，判断路由是否可在 ≤k 步内完成是 NP-完全问题；同时为最大度 Δ 的树构建了一个 O(min(Δ²n, n²)) 深度的排序网络，该结果对特定树实例是紧致的。

ABSTRACT

The paper is divided in to two parts. In the first part we present some new results for the extit{routing via matching} model introduced by Alon et al\cite{5}. This model can be viewed as a communication scheme on a distributed network. The nodes in the network can communicate via matchings (a step), where a node exchanges data with its partner. Formally, given a connected graph $G$ with vertices labeled from $[1,...,n]$ and a permutation $π$ giving the destination of pebbles on the vertices the problem is to find a minimum step routing scheme. This is denoted as the routing time $rt(G,π)$ of $G$ given $π$. In this paper we present the following new results, which answer one of the open problems posed in \cite{5}: 1) Determining whether $rt(G,π)$ is $\le 2$ can be done in $O(n^{2.5})$ deterministic time for any arbitrary connected graph $G$. 2) Determining whether $rt(G,π)$ is $\le k$ for any $k \ge 3$ is NP-Complete. In the second part we study a related property of graphs, which measures how easy it is to design sorting networks using only the edges of a given graph. Informally, extit{sorting number} of a graph is the minimum depth sorting network that only uses edges of the graph. Many of the classical results on sorting networks can be represented in this framework. We show that a tree with maximum degree $Δ$ can accommodate a $O(\min(nΔ^2,n^2))$ depth sorting network. Additionally, we give two instance of trees for which this bound is tight.

研究动机与目标

• 解决一般图上通过匹配进行路由的计算复杂性方面的开放问题。
• 确定路由时间 rt(G,π) ≤ k 在 k ≥ 2 时的计算可解性。
• 研究仅使用给定图边的排序网络的最小深度。
• 基于最大度 Δ，为树结构建立排序网络深度的紧致界限。
• 探索图模型中路由时间与排序网络深度之间的关系。

提出的方法

• 提出一种确定性算法，通过将问题约化为辅助图中的完美匹配检测，在 O(n².⁵) 时间内判断 rt(G,π) ≤ 2。
• 利用排列的环分解分析两步内单个与相互路由的可行性。
• 采用构造性方法，通过在子树上递归执行奇偶交换过程，构建树上的排序网络。
• 引入一种基于阶段的排序算法 OddEvenTreeSort，通过分阶段交换相邻子树并追踪弹珠移动来运行。
• 推导出递推关系 C(n) ≤ C(n/2) + O(min(Δ²n, n²))，以界定排序所需阶段数。
• 利用子树间弹珠交换的界限及树分解的性质，证明 O(min(Δ²n, n²)) 的深度界限。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意连通图 G 和排列 π，是否可在多项式时间内判断路由时间 rt(G,π) ≤ 2？
• RQ2 当 k ≥ 3 时，判断 rt(G,π) ≤ k 的问题是否为 NP-完全问题？
• RQ3 仅使用给定图 G 的边的排序网络的最小深度是多少？
• RQ4 能否以最大度 Δ 表示树的排序网络深度？
• RQ5 是否存在一种构造方法，使得树的排序网络深度达到 O(Δn)？

主要发现

• 对于任意连通图 G，判断 rt(G,π) ≤ 2 可在 O(n².⁵) 的确定性时间内完成。
• 当 k ≥ 3 时，判断 rt(G,π) ≤ k 的问题为 NP-完全问题。
• 最大度 Δ 的树可支持深度为 O(min(Δ²n, n²)) 的排序网络。
• 该界限对特定树实例（包括路径图 Pₙ 和星图 K₁,ₙ₋₁）是紧致的。
• OddEvenTreeSort 算法在 MP 顺序下对任意输入实现 O(min(Δ²n, n²)) 阶段的排序。
• 递推关系 C(n) ≤ C(n/2) + O(min(Δ²n, n²)) 暗示，任意树的排序网络深度均被 O(min(Δ²n, n²)) 所限制。