[论文解读] Routing for Energy Minimization with Discrete Cost Functions

Lin Wang, Antonio Fernández Anta+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2013

VLSI and FPGA Design Techniques被引用 4

一句话总结

本文提出一种基于离散速率自适应的节能网络路由算法，以最小化具有非凸、阶梯状成本函数的网络中的能耗。该文提出一种两阶段算法——先通过松弛使成本函数凸化，再通过随机舍入，对均匀需求实现常数近似比，对非均匀需求实现 O(log^{β−1}d) 近似比，其中 d 为最大需求。

ABSTRACT

Energy saving is becoming an important issue in the design and use of computer networks. In this work we propose a problem that considers the use of rate adaptation as the energy saving strategy in networks. The problem is modeled as an integral demand-routing problem in a network with discrete cost functions at the links. The discreteness of the cost function comes from the different states (bandwidths) at which links can operate and, in particular, from the energy consumed at each state. This in its turn leads to the non-convexity of the cost function, and thus adds complexity to solve this problem. We formulate this routing problem as an integer program, and we show that the general case of this problem is NP-hard, and even hard to approximate. For the special case when the step ratio of the cost function is bounded, we show that effective approximations can be obtained. Our main algorithm executes two processes in sequence: relaxation and rounding. The relaxation process eliminates the non-convexity of the cost function, so that the problem is transformed into a fractional convex program solvable in polynomial time. After that, a randomized rounding process is used to get a feasible solution for the original problem. This algorithm provides a constant approximation ratio for uniform demands and an approximation ratio of $O(\log^{β-1} d)$ for non-uniform demands, where $β$ is a constant and $d$ is the largest demand.

研究动机与目标

• 解决网络中链路以离散功率状态运行且具有非凸成本函数时的能耗最小化挑战。
• 将问题建模为带离散成本函数的整数规划，该成本函数源于网络链路的速率自适应。
• 研究一般问题的计算复杂性，表明其为 NP-难且难以近似。
• 为步骤比有界的实用特例设计一种高效的近似算法。
• 在不同需求模型（均匀与非均匀）下，提供所提算法近似比的理论保证。

提出的方法

• 将网络链路建模为具有离散工作状态（带宽）及其对应能耗成本，导致非凸成本函数。
• 将离散成本函数松弛为连续凸近似，将问题转化为可在多项式时间内求解的分数凸规划。
• 应用随机舍入过程，将分数解转换回原始离散问题的可行整数解。
• 利用参数 σ（成本比）和 φ（松弛后与原始成本函数之间的差距）来界定松弛和舍入步骤引入的误差。
• 利用随机舍入在多商品流问题上的已有结果，将近似保证扩展至非均匀需求。
• 利用松弛解与原始成本函数之间的关系，推导出依赖于 φ、σ 和先前舍入分析中的常数 λ 的近似比。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有离散、非凸成本函数的节能路由问题的计算复杂性是什么？
• RQ2 能否为成本函数步长比有界的实用子问题设计一种高效的近似算法？
• RQ3 在所提出的松弛与舍入框架下，对均匀和非均匀业务需求可实现多大的近似比？
• RQ4 松弛与舍入引入的误差对最终能耗与最优解相比有何影响？
• RQ5 所提算法在多数据中心网络路由与终端设备部署联合优化中的可扩展性如何？

主要发现

• 具有离散成本函数的节能路由问题的一般情况为 NP-难且难以近似。
• 对于单位需求和均匀需求，所提算法实现依赖于 σ 和 φ 的常数近似比 ρ。
• 对于非均匀需求，算法实现 O(log^{β−1}d) 的近似比，其中 d 为最大需求，β 为成本函数中的常数。
• 松弛步骤将非凸问题转化为可在多项式时间内求解的分数凸规划。
• 随机舍入过程确保整数解的期望能耗在最优解的常数倍之内。
• 理论分析证实，松弛与舍入引入的误差是受控的，从而支持强近似保证。