[论文解读] Row-strict Quasisymmetric Schur Functions, Characterizations of Demazure Atoms, and Permuted Basement Nonsymmetric Macdonald Polynomials

Jeffrey Paul Ferreira|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 33被引用 11

一句话总结

本文提出了一类关于行严格准对称舒尔函数与对称舒尔函数乘积的利特尔伍德-理查森法则，采用在行严格组合表上进行的插入算法。它通过组合数组模式和拉克什米巴伊-塞沙德里路径，提供了对德马布尔原子的两种新刻画，并证明了排列基底的非对称麦克唐纳多项式是双 affine Hecke 代数中一组交换算子的共同本征函数。

ABSTRACT

We give a Littlewood-Richardson type rule for expanding the product of a row-strict quasisymmetric Schur function and a symmetric Schur function in terms of row-strict quasisymmetric Schur functions. We then discuss a family of polynomials called Demazure atoms. We review the known characterizations of these polynomials and then present two new characterizations. Finally, we consider a family of polynomials called permuted basement nonsymmetric Macdonald polynomials which are obtained by permuting the basement of the combinatorial formula of Haglund, Haiman, and Loehr for nonsymmetric Macdonald polynomials. We show that these permuted basement nonsymmetric Macdonald polynomials are the simultaneous eigenfunctions of a family of commuting operators in the double affine Hecke algebra.

研究动机与目标

• 开发行严格准对称舒尔函数与对称舒尔函数乘积的利特尔伍德-理查森型法则。
• 通过组合数组模式和拉克什米巴伊-塞沙德里路径，提供德马布尔原子的新组合刻画。
• 确立排列基底非对称麦克唐纳多项式是双 affine Hecke 代数中一组交换算子的共同本征函数。
• 为拟对称函数模掉常数项为零的对称函数生成的理想所得商环构造一个基。
• 通过基底排列和插入算法，扩展对非对称麦克唐纳多项式的组合理解。

提出的方法

• 利用马森和雷梅尔定义的插入算法，将整数插入行严格组合表中，确立其主要碰撞性质和初等变换。
• 引入组合数组模式，即非负整数的三角形数组，与组合表的半标准增强填充之间存在双射关系。
• 建立首行为 γ 的组合数组模式与首行为 λ 的 Gelfand-Tsetlin 模式之间的双射关系，其中 λ 是将 γ 按弱递减顺序排序后得到的分拆。
• 应用差分算子和钥匙，刻画德马布尔原子，将其与对称群和 Hecke 代数的结构联系起来。
• 使用 Haglund、Haiman 和 Loehr 的非对称麦克唐纳多项式组合公式，并通过基底排列定义新多项式族。
• 证明排列基底多项式是算子 $Y_i^\tau$ 的本征函数，利用双 affine Hecke 代数中的关系及 $T_j$ 和 $\pi$ 生成元的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将行严格准对称舒尔函数与对称舒尔函数的乘积展开为行严格准对称舒尔函数基？
• RQ2 除了已知的钥匙和差分算子外，德马布尔原子的哪些新组合刻画是可能的？
• RQ3 组合数组模式如何与半标准增强填充及 Gelfand-Tsetlin 模式相关联？
• RQ4 排列基底非对称麦克唐纳多项式在双 affine Hecke 代数中的代数结构是什么？
• RQ5 排列基底非对称麦克唐纳多项式是否是某组交换算子的共同本征函数？

主要发现

• 基于插入算法的性质，建立了行严格准对称舒尔函数与对称舒尔函数乘积的利特尔伍德-理查森型法则。
• 通过半标准增强填充与组合数组模式之间的双射，提供了德马布尔原子的新组合模型。
• 以从指定方向出发的所有拉克什米巴伊-塞沙德里路径的权重之和，给出了德马布尔原子的第二种刻画。
• 本文构造了拟对称函数环模掉常数项为零的对称函数生成的理想所得商环的一个基。
• 证明了排列基底非对称麦克唐纳多项式是算子 $Y_i^\tau$ 的共同本征函数，其本征值由底层组合与排列的参数决定。
• 证明依赖于验证 $Y_i^\tau = T_\tau Y_{\tau^{-1}(i)} T_\tau^{-1}$，并确认这些算子在多项式 $E_{\gamma,\tau}$ 上的作用为数量乘法，从而确认其本征函数性质。