[论文解读] Rozansky-Witten invariants via Atiyah classes

Mikhail Kapranov|ArXiv.org|Apr 13, 1997

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用 43

一句话总结

本文通过使用切丛的Atiyah类，重新表述了对超凯勒流形的Rozansky-Witten不变量，表明这些不变量源自由李代数上同调（up to homotopy）控制的上同调运算。关键贡献在于：通过Atiyah类对 $ c_{\rm \Gamma}(X) $ 不变量给出了一个上同调描述，该描述对任意凯勒度量（而不仅限于超凯勒度量）均成立，从而可在无需完整超凯勒结构的情况下实现显式计算。

ABSTRACT

Recently, L.Rozansky and E.Witten (hep-th/9612216) associated to any hyperKaehler manifold X a system of "weights" (numbers, one for each trivalent graph) and used them to construct invariants of topological 3-manifolds. We give a very simple cohomological definition of these weights in terms of the Atiyah class of X (the obstruction to existence of a holomorphic connection). We show that the analogy between the tensor of curvature of a hyperKaehler metric and the tensor of structure constants of a Lie algebra observed by Rozansky and Witten, holds in fact for any complex manifold, if we work on the level of cohomology and for any Kaehler manifold, if we work on the level of Dolbeault forms. In particular, for any sheaf A of commutative algebras on any complex manifold the shifted cohomology of the tangent sheaf tensored with A is a graded Lie algebra. We also show that a certain system of Gilkey-type complexes of "natural tensors" on Kaehler manifolds is, up to suspension (accounting for various changes of signs), identified with the PROP (in the sense of Adams and MacLane) describing Lie algebras "up to higher homotopies". As an outcome of our considerations, we give a formula for the Rozansky-Witten classes using any Kaehler metric on a holomorphic symplectic manifold.

研究动机与目标

• 提供一种使用Atiyah类而非曲率的超凯勒流形上Rozansky-Witten不变量 $ c_{\rm \Gamma}(X) $ 的上同调重表述。
• 证明 $ c_{\rm \Gamma}(X) $ 不变量可仅从切丛的Atiyah类计算得出，而与超凯勒度量无关。
• 在 $ H^{\bullet-1}(X, T_X \otimes A) $ 上的分次李代数结构中，建立Atiyah类与雅可比恒等式之间的联系，通过操作形式化推广至弱李代数。
• 通过修改非辛情形的框架，将形式化推广至全纯辛流形，从而恢复原始的Rozansky-Witten构造。
• 将构造与Gelfand-Fuks上同调及形式几何联系起来，利用形式指数映射空间上的典范形式。

提出的方法

• 使用Atiyah类 $ \alpha_E \in H^1(X, \Omega^1 \otimes \mathrm{End}(E)) $ 作为曲率在 $ c_{\rm \Gamma}(X) $ 构造中的上同调替代。
• 切丛的Atiyah类在任意 $ \mathcal{O}_X $-代数层 $ A $ 上诱导出 $ H^{\bullet-1}(X, T_X \otimes A) $ 上的分次李代数结构。
• 在凯勒流形上，通过Dolbeault形式展开Atiyah类的雅可比恒等式，导出一个李代数上同调结构。
• 将李代数的Chevalley-Eilenberg复形替换为通过全纯指数映射识别的对角形式邻域上的函数层。
• 采用形式几何框架，将Dolbeault形式替换为形式指数映射空间上的相对形式，导出典范形式 $ \bar{\alpha}_n $。
• 通过在曲率张量 $ R_n $ 上施加辛约束，将构造特化至全holomorphic辛流形，证明 $ R_n $ 为完全对称。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用Atiyah类而非黎曼曲率重建Rozansky-Witten不变量？
• RQ2 在上同调操作形式化框架中，Atiyah类是否满足雅可比恒等式？
• RQ3 $ c_{\rm \Gamma}(X) $ 不变量能否基于任意凯勒度量计算，而不仅限于超凯勒度量？
• RQ4 典范形式的形式几何框架与Kontsevich的 $ \bar{\partial} $-叶状结构方法有何关系？
• RQ5 是否存在一个模形式的dg-操作形式结构，作为 $ c_{\rm \Gamma}(X) $ 构造的基础，其与Gelfand-Fuks上同调有何关联？

主要发现

• 切丛的Atiyah类为任意复流形上凯勒度量下的 $ c_{\rm \Gamma}(X) $ 不变量提供了上同调描述。
• 移位上同调空间 $ H^{\bullet-1}(X, T_X \otimes A) $ 通过Atiyah类与上积自然赋予分次李代数结构。
• Atiyah类满足的雅可比恒等式可展开为一个李代数上同调结构，其形式化为与对角形式邻域上函数层同构的复形。
• 该构造扩展为模形式dg-操作形式的态射 $ \tilde{\cal F} \to \Omega^{0,\bullet}(\mathcal{E}[T]) $，其中曲率张量 $ R_{\Gamma} $ 构成一个上同调循环。
• 在全纯辛情形下，曲率张量 $ R_n $ 为完全对称，并定义了从图复形 $ \mathcal{F}((g,0)) $ 到Dolbeault复形的态射。
• 形式几何方法导出一个态射 $ \tilde{\cal F} \to H^0(X, (p_*\Omega^{\bullet}_{\Psi/X}) \otimes \mathcal{E}[T]) $，其中典范形式 $ \bar{\alpha}_\Gamma $ 编码了不变量。