[论文解读] Rubrics for Charge Conserving Current Mapping in Finite Element Particle in Cell Methods

Zane D. Crawford, Scott O’Connor+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2021

Plasma Diagnostics and Applications被引用 4

一句话总结

本文通过利用de Rham复合映射和离散Hodge算子，建立了有限元粒子网格法（FE-PIC）中确保电荷守恒的一般数学准则。研究表明，当电流映射尊重边基与面基有限元基之间的对偶性时，即可实现电荷守恒，并提出了一种新颖的、天然电荷守恒的FE-PIC方案，其有效性通过数值结果得到验证。

ABSTRACT

Modeling of kinetic plasmas using electromagnetic particle in cell methods (EM-PIC) is a problem that is well worn, in that methods developed have been used extensively both understanding physics and exploiting them for device design. EM-PIC tools have largely relied on finite difference methods coupled with particle representations of the distribution function. Refinements to ensure consistency and charge conservation have largely been an ad-hoc efforts specific to finite difference methods. Meanwhile, solution methods for field solver have grown by leaps and bounds with significant performance metrics compared to finite difference methods. Developing new EM-PIC computational schemes that leverage modern field solver technology means re-examining analysis framework necessary for self-consistent EM-PIC solution. In this paper, we prescribe general rubrics for charge conservation, demonstrate how these are satisfied in conventional finite difference PIC as well as finite element PIC, and prescribe a novel charge conserving finite element PIC. Our effort leverages proper mappings on to de-Rham sequences and lays a groundwork for understanding conditions that must be satisfied for consistency. Several numerical results demonstrate the applicability of these rubrics.

研究动机与目标

• 开发电磁粒子网格法（EM-PIC）中电荷守恒的一般性、求解器无关的准则。
• 确定有限元方法中电流映射实现电荷守恒的数学条件。
• 将有限差分PIC中的电荷守恒原理扩展至现代有限元场求解器。
• 为构建一致、散度为零的电流沉积提供系统性框架。
• 通过数值验证展示所提准则的适用性与准确性。

提出的方法

• 将电荷守恒表述为de Rham复形中离散微分形式之间对偶性的要求，确保电流映射尊重Hodge星算子和旋度关系。
• 利用基于边的（1-形式）和基于面的（2-形式）有限元基函数推导离散麦克斯韦方程，分别对应电场和磁场。
• 通过粒子轨迹在边基基函数上的线积分定义电流自由度，确保与安培定律和法拉第定律的一致性。
• 应用离散Hodge星算子在原始网格与对偶网格之间进行映射，实现场与电流的精确插值。
• 利用de Rham序列确保离散旋度与散度算子满足与连续情形相同的代数恒等式。
• 通过数值实验验证该方案，结果表明电荷守恒和麦克斯韦方程在长时间模拟中保持一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限元PIC方法中，电流映射需满足何种数学条件才能确保电荷守恒？
• RQ2 如何为任意有限元场求解器系统性地推导出电荷守恒的电流沉积方法？
• RQ3 de Rham复形映射与离散Hodge算子在FE-PIC中如何实现一致的电荷守恒？
• RQ4 所提出的FE-PIC方案与传统FDTD-PIC在电荷守恒与一致性方面有何比较优势？
• RQ5 所提准则能否推广至有限元方法以外的其他场求解器类型？

主要发现

• 本文确立了当电流映射通过de Rham复形尊重边基与面基有限元基函数之间的对偶性时，FE-PIC中的电荷守恒即可得到保证。
• 所提方法确保在每个时间步长离散连续性方程均被满足，从而消除虚假电荷的产生。
• 数值结果表明，该方案在长时间模拟中可将电荷守恒保持在机器精度水平。
• 当应用于结构化网格时，该方法可恢复经典FDTD-PIC的结果，验证了其与既有方案的一致性。
• 使用de Rham序列与离散Hodge算子可确保旋度与散度算子满足与连续情形相同的代数恒等式。
• 该框架可直接用于构建新型、天然电荷守恒的FE-PIC方案，无需后续处理或散度校正。