[论文解读] Rudin's Theorem and Projective Hulls

John Wermer|ArXiv.org|Nov 2, 2006

Analytic and geometric function theory参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文建立了在实解析函数与全纯函数组合时生成全纯模的充分条件。利用对偶性、F. 和 M. Riesz 定理以及解析开拓的性质，证明了若内部点的取值在边界上关于上范数有界，则该函数必为全纯函数。关键结果为：若其图像的射影包络不包含超出单位圆盘像的额外点，则该函数必为整函数。

ABSTRACT

Walter Rudin, in 1966, characterized analytic functions in the unit disk in terms of the maximum principle relative to the boundary. We conjecture a generalization of this result when the disk is replaced by the punctured disk, and we prove a special case of this conjecture, making use of the notion of projective hull in P^n introduced by R. Harvey and B. Lawson.

研究动机与目标

• 将 Rudin 定理从代数推广至模，通过引入有界点取值条件。
• 研究由单位圆周上实解析函数定义的 C^2 中闭曲线的射影包络结构。
• 确定此类曲线的射影包络等于函数在单位圆盘上的像的条件。
• 证明若射影包络不包含超出圆盘像的额外点，则函数必为全纯（且整）函数。
• 通过函数图像的射影包络表征整全纯函数。

提出的方法

• 定义在圆盘代数 A₀ 上的模 M 为所有形如 a + bφ 的函数构成的集合，其中 a, b ∈ A₀，且 φ 在 Δ 上连续。
• 施加有界点取值条件：对每个 x ∈ int(Δ)，有 |f(x)| ≤ Mₓ sup_Γ |f| 对所有 f ∈ M 成立。
• 利用 Hahn-Banach 定理和 F. 和 M. Riesz 定理，将点 0 处的取值表示为在 Γ 上关于测度 σ 的积分。
• 证明 σ 与归一化 Lebesgue 测度之差是某个 H¹ 函数 h 的边界函数。
• 对 φσ 应用相同技巧，导出在 Γ 几乎处处有 φ = (α + k)/(1 + h)，其中 k 和 h 为 H¹ 函数。
• 利用解析开拓及 φ 在 Γ 上的实解析性，证明 (α + k)/(1 + h) 可延拓为 Δ 上的亚纯函数，再经乘以有限 Blaschke 乘积后成为全纯函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，由函数 a + bφ 构成的圆盘代数模 M（其中 φ 在 Δ 上连续且在边界上实解析）中的所有函数均为全纯函数？
• RQ2 若 φ 不是全纯函数，由 (ζ, φ(ζ))（ζ ∈ Γ）定义的 C² 中实解析曲线 γ 的射影包络是否可能包含超出单位圆盘像的点？
• RQ3 若曲线 γ 的射影包络等于闭单位圆盘的像，是否必有 φ 在 Δ 上全纯？
• RQ4 模 M 上点取值泛函的有界性与 φ 的全纯性之间有何关系？
• RQ5 实解析函数在单位圆周上的图像的射影包络是否当且仅当该函数为整函数时，与圆盘的像重合？

主要发现

• 若 Δ 内部每一点的取值泛函在 Γ 上的上范数有界，则模 M 中所有函数均为全纯函数。
• 证明了 φ 几乎处处等于 (α + k)/(1 + h)，其中 k 和 h 为 H¹ 函数，表明 φ 在 Δ 中为亚纯函数，从而去除极点后为全纯函数。
• 通过解析开拓及 φ 在 Γ 上的实解析性，函数 φ 可延拓为整个复平面 C 上的整全纯函数。
• C² 中曲线 γ = {(ζ, φ(ζ)) : ζ ∈ Γ} 的射影包络等于闭单位圆盘的像，当且仅当 φ 为整函数。
• 通过反证法：假设 φ 不全纯，构造一组次数为 2d 的多项式 P_d，使得 |P_d| 在 γ 上较小，但在某内点 (α₀, φ(α₀)) 处较大，从而违反射影包络条件。