[论文解读] Ruelle-Perron-Frobenius operator approach to the annealed pinning model with Gaussian long-range correlated disorder

Julien Poisat|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2012

Theoretical and Computational Physics参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文利用Ruelle-Perron-Frobenius（RPF）算子框架，研究了具有高斯长程相关无序的退火钉扎模型。通过分析可数马尔可夫移位上转移算子的谱性质，作者证明：若无序相关性衰减足够快——呈指数衰减或多项式衰减且指数α > 0——则退火临界行为与均匀模型一致，包括相同的临界指数。该结果表明，在弱相关无序下，均匀相变具有鲁棒性。

ABSTRACT

In this paper we study the pinning model with correlated Gaussian disorder. The presence of correlations makes the annealed model more involved than the usual homogeneous model, which is fully solvable. We prove however that if the disorder correlations decay fast enough then the annealed critical behaviour is the same as the homogeneous one. Our result is sharper if the decay is exponential. The approach we propose relies on the spectral properties of a transfer or Ruelle-Perron Frobenius operator related to the model. We use results on these operators that were obtained in the framework of the thermodynamic formalism for countable Markov shifts. We also provide large-temperature asymptotics of the annealed critical curve under weaker assumptions.

研究动机与目标

• 研究当无序呈现长程高斯相关性时，退火钉扎模型的临界行为。
• 确定退火临界指数与均匀（非随机）模型一致的条件。
• 将Ruelle-Perron-Frobenius算子方法从有限范围相关性推广至无限范围、长程相关无序。
• 在相关性衰减假设更弱的条件下，建立退火临界曲线的大温度渐近性质。

提出的方法

• 通过更新过程和具有独立同分布到达时间的哈密顿量，形式化具有高斯长程相关无序的退火钉扎模型。
• 通过在无序上取平均，利用高斯矩生成函数，推导退火配分函数和自由能。
• 将Ruelle-Perron-Frobenius（RPF）算子应用于可数马尔可夫移位上的无限符号动力系统，以分析其谱性质。
• 利用可数马尔可夫移位的热力学形式化结果，控制转移算子迭代的生长并推导临界行为。
• 通过RPF算子建立次可加性与谱间隙估计，以界自由能和临界曲线。
• 在无序强度较弱时对RPF算子应用微扰理论，将谱数据与临界指数行为联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有长程相关高斯无序的钉扎模型的退火临界指数是否与均匀模型一致？
• RQ2 当无序相关结构的衰减满足何种条件时，退火临界行为与均匀情况保持不变？
• RQ3 Ruelle-Perron-Frobenius算子框架能否从有限范围相关性推广至无限范围相关无序的钉扎模型？
• RQ4 在相关性衰减较弱的条件下，退火临界曲线的大温度（小β）渐近行为如何？
• RQ5 转移算子的谱性质如何与退火模型中的相变相关？

主要发现

• 若高斯无序相关性衰减足够快——特别是多项式衰减率α > 0或指数衰减——则退火临界指数与均匀模型一致。
• 对于指数衰减，结果更精确：临界行为与均匀情况完全相同，临界指数无修正项。
• RPF算子方法可通过可数马尔可夫移位上的谱分析，严格控制退火自由能，将先前仅限于有限范围相关性的结果推广至更广情形。
• 在更弱的假设下，推导出退火临界曲线的大温度渐近性质，包括α > 0的多项式衰减。
• 在矩条件∑nK(n) < ∞下，临界曲线满足h_c^a(β) ∼ −(β²/2)(1 + 2∑ₙ ρₙP(n∈τ))，当β↓0时成立。
• 当∑n nK(n) < ∞时，临界曲线的上界对所有β ≥ 0成立，该结果通过在退火配分函数上应用Jensen不等式得出。