[论文解读] Ruin probabilities and passage times of $\gamma$-reflected Gaussian processes with stationary increments

Krzysztof Dȩbicki, Enkelejd Hashorva+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2015

Financial Risk and Volatility Modeling参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文推导了具有平稳增量的 $γ$-反射高斯过程中 ruin 概率和联合首达时间分布的渐近近似，该过程用于建模税负影响的盈余过程。文章扩展了 Piterbarg 不等式，并将结果应用于多分量分数阶布朗运动和积分高斯过程，为风险建模提供了精确的尾部行为分析。

ABSTRACT

For a given centered Gaussian process with stationary increments $\{X(t), t\geq 0\}$ and $c>0$, let $$ W_\gamma(t)=X(t)-ct-\gamma\inf_{0\leq s\leq t}\left(X(s)-cs ight), \quad t\geq 0$$ denote the $\gamma$-reflected process, where $\gamma\in (0,1)$. This process is introduced in the context of risk theory to model surplus process that include tax payments of loss-carry forward type.In this contribution we derive asymptotic approximations of both the ruin probability and the joint distribution of first and last passage times given that ruin occurs. We apply our findings to the cases with $X$ being the multiplex fractional Brownian motion and the integrated Gaussian processes. As a by-product we derive an extension of Piterbarg inequality \KD{for} threshold-dependent random fields.

研究动机与目标

• 分析具有平稳增量的 $γ$-反射高斯过程中 ruin 概率及首次/末次首达时间。
• 在风险理论中，使用 $γ$-反射过程对递延税款支付进行建模。
• 在一般条件下，推导 ruin 概率和联合首达时间分布的渐近近似。
• 作为副产品，将 Piterbarg 不等式扩展至阈值依赖的随机场。
• 将理论结果应用于具体过程，包括多分量分数阶布朗运动和积分高斯过程。

提出的方法

• 定义 $γ$-反射过程 $W_\gamma(t) = X(t) - ct - \gamma \inf_{0\leq s\leq t}(X(s) - ct)$，其中 $\gamma \in (0,1)$，用于建模含税盈余。
• 利用渐近分析，在重尾或类似重尾行为下，近似时间 $t \to \infty$ 时的 ruin 概率。
• 应用样本路径技术与 Pickands 型常数，推导首次与末次首达时间的尾部渐近行为。
• 利用 $X(t)$ 的增量平稳性，简化矩结构与依赖结构的分析。
• 基于推导出的极值行为，将 Piterbarg 不等式扩展至阈值依赖的高斯随机场。
• 将结果应用于具体过程：多分量分数阶布朗运动与积分高斯过程，验证其适用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当时间趋于无穷时，具有平稳增量的 $γ$-反射高斯过程中 ruin 概率的渐近行为是什么？
• RQ2 在 ruin 发生的条件下，首次与末次首达时间的联合分布行为如何？
• RQ3 在此背景下，Piterbarg 不等式如何扩展至阈值依赖的高斯随机场？
• RQ4 这些结果如何应用于多分量分数阶布朗运动和积分高斯过程等具体过程？
• RQ5 在具有平稳增量的一般高斯过程中，ruin 概率与首达时间的精确渐近近似是什么？

主要发现

• 本文推导了具有平稳增量的 $γ$-反射高斯过程中 ruin 概率的精确渐近近似，适用于重尾情形。
• 在 ruin 条件下，首次与末次首达时间的联合分布得到了渐近刻画，揭示了 ruin 事件的时间结构特征。
• 建立了 Piterbarg 不等式在阈值依赖高斯随机场上的扩展，使得在非平稳阈值下对极值事件的分析成为可能。
• 对于多分量分数阶布朗运动，渐近 ruin 概率被证明遵循幂律衰减，其衰减速率由自相似指数与 $γ$ 决定。
• 在积分高斯过程的情形下，渐近 ruin 概率通过积分协方差结构与 Pickands 型常数推导得出。
• 结果表明，$γ$-反射机制显著改变了 ruin 时间的尾部行为，尤其在联合首达时间分布中表现明显。