[论文解读] Ruin probabilities for two collaborating insurance companies
本文推导出具有分段线性漂移的单色 Lévy 过程的上确界分布的精确公式，使两个合作的保险公司能够显式计算其按比例分摊索赔与保费的破产概率。主要贡献在于利用 Lévy 过程的一维密度，以闭式表达有限与无限时间 horizon 的破产概率，该方法在伽马过程、$α$-稳定过程和布朗运动过程中得到验证。
In this note we find a formula for the supremum distribution of spectrally positive or negative Lévy processes with a broken linear drift. This gives formulas for ruin probabilities in the case when two insurance companies (or two branches of the same company) divide between them both claims and premia in some specified proportions. As an example we consider gamma Lévy process, $α$-stable Lévy process and Brownian motion. Moreover we obtain identities for Laplace transform of the distribution for the supremum of Lévy processes with randomly broken drift and on random intervals.
研究动机与目标
- 推导具有分段线性漂移的单色正或负 Lévy 过程的上确界分布的精确公式。
- 将这些公式应用于计算采用按比例再保险的双保险人模型中的破产概率。
- 通过提供有限与无限时间 horizon 的显式公式，拓展现有结果，而此前的研究多局限于无限时间 horizon。
- 建立在随机漂移断裂和随机时间间隔下，上确界分布的拉普拉斯变换的恒等式。
- 通过具体 Lévy 过程（伽马、$α$-稳定和布朗运动）验证该框架。
提出的方法
- 利用对偶性与 Lévy 过程理论中的已知恒等式，推导出具有单色负 Lévy 过程的上确界与终端值的联合分布。
- 应用 Kendall 恒等式与对偶引理，将单色负过程的结果转换为单色正过程的结果。
- 通过拉普拉斯指数的逆运算，利用 Bertoin 和 Dębicki & Mandjes 的已知结果，推导出上确界分布的拉普拉斯变换。
- 利用指数时间变换与首通过时间技术，建立在随机时间间隔与随机漂移变化下，上确界拉普拉斯变换的恒等式。
- 利用拉普拉斯指数的逆运算与卷积恒等式，推导出具有断裂漂移的 Lévy 过程的上确界拉普拉斯变换的显式公式。
- 在具体过程中验证结果：伽马、$α$-稳定与布朗运动，为其破产概率提供闭式表达。
实验结果
研究问题
- RQ1具有分段线性漂移的单色正或负 Lévy 过程的上确界的确切分布是什么？
- RQ2上确界分布如何用底层 Lévy 过程的一维密度表示？
- RQ3两个合作的保险公司按比例分摊索赔与保费时，其有限与无限时间 horizon 的破产概率是多少？
- RQ4当漂移随机断裂或时间 horizon 随机变化时，破产概率如何变化？
- RQ5在随机区间上，具有断裂漂移的 Lévy 过程的上确界拉普拉斯变换可推导出哪些显式公式？
主要发现
- 本文利用其一维密度与不同时间点处过程密度的时间积分，推导出具有单色负 Lévy 过程的上确界与终端值的联合分布的闭式表达。
- 对于具有单色正 Lévy 过程，无限时间 horizon 的破产概率由涉及增量负部分期望与时间 s 处过程密度的表达式给出。
- 推导出具有断裂漂移的 Lévy 过程的上确界拉普拉斯变换的显式公式，表达式基于拉普拉斯指数的逆运算与卷积恒等式。
- 对于带漂移的布朗运动，利用拉普拉斯指数的逆运算，以闭式推导出上确界拉普拉斯变换，得到有理函数表达式。
- 该框架在三种具体 Lévy 过程（伽马、$α$-稳定与布朗运动）上得到验证，为其在按比例再保险下的破产概率提供了显式表达式。
- 本文建立了在随机时间间隔与随机漂移变化下，上确界拉普拉斯变换的恒等式，将适用范围扩展至更现实的风险模型。
更好的研究，从现在开始
从阅读论文到最终审阅，大幅缩短您的研究时间。
无需绑定信用卡
本解读由 AI 生成，并经人工编辑审核。