[论文解读] Ruin probabilities with investments: smoothness, IDE and ODE, asymptotic behavior

Yuri Kabanov, Nikita Pukhlyakov|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2020

Probability and Risk Models参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文研究了在结合寿险与非寿险风险并投资于由几何布朗运动驱动的高风险资产的保险模型中的破产概率。研究证明了破产概率作为初始资本函数的光滑性，推导出指数分布跳跃情况下的四阶常微分方程（ODE），并证明了当 $\Psi(u) \sim C u^{-\beta}$ 时的渐近衰减，其中 $\beta = 2a/\sigma^2 - 1$，将已知的单一跳跃类型模型结果推广至更一般的双侧跳跃模型。

ABSTRACT

The study deals with the ruin problem when an insurance company having two business branches, life insurance and non-life insurance, invests its reserve into a risky asset with the price dynamics given by a geometric Brownian motion. We prove a result on smoothness of the ruin probability as a function of the initial capital and obtain for it an integro-differential equation understood in the classical sense. For the case of exponentially distributed jumps we show that the survival probability is a solution of an ordinary differential equation of the 4th order. Asymptotic analysis of the latter leads to the conclusion that the ruin probability decays to zero in the same way as in the already studied cases of models with one-side jumps.

研究动机与目标

• 研究一个保险公司同时经营寿险与非寿险业务并投资于高风险资产的集体风险模型中的破产概率。
• 在一般跳跃分布下，建立破产概率作为初始资本函数的光滑性。
• 当跳跃服从指数分布时，推导生存概率的四阶常微分方程（ODE）。
• 研究当初始资本趋于无穷时破产概率的渐近行为。
• 将已知的单一跳跃类型模型中的渐近衰减率结果推广至更一般的双侧跳跃模型。

提出的方法

• 将保险公司的储备金建模为由维纳过程（高风险资产）和复合泊松过程（业务活动）驱动的随机微分方程的解。
• 利用底层随机过程的正则性性质及积分微分方程，证明破产概率是初始资本的光滑函数。
• 当跳跃服从指数分布时，通过变换和渐近分析，将积分微分方程（IDE）约化为具有变系数的四阶线性ODE。
• 通过研究初始资本 $u \to \infty$ 时基本解矩阵的行为，对ODE进行渐近分析，结合特征值分析与摄动理论。
• 利用主导平衡法与特征值分解，识别破产概率的主导渐近行为。
• 通过分析ODE解的衰减速率，建立渐近形式 $\Psi(u) \sim C u^{-\beta}$，其中 $\beta = 2a/\sigma^2 - 1$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当同时存在正负跳跃且投资于高风险资产时，破产概率作为初始资本的函数是否仍保持光滑？
• RQ2 当跳跃大小服从指数分布时，破产概率能否由四阶常微分方程刻画？
• RQ3 在具有高风险投资的双侧跳跃模型中，当初始资本 $u \to \infty$ 时，破产概率的渐近衰减率是多少？
• RQ4 当高风险资产的波动率较高时，在何种条件下即使满足Cramér条件，破产仍以概率1发生？
• RQ5 与单一风险模型相比，寿险与非寿险风险并存如何影响破产概率的渐近行为？

主要发现

• 在跳跃分布的矩条件较弱时，破产概率是初始资本的光滑函数。
• 当跳跃服从指数分布时，生存概率满足一个具有变系数的四阶线性ODE，该方程由底层积分微分方程导出。
• 当 $u \to \infty$ 时，破产概率的渐近行为为 $\Psi(u) \sim C u^{-\beta}$，其中 $C > 0$ 且 $\beta = 2a/\sigma^2 - 1$。
• 衰减速率 $\beta$ 与仅含一种跳跃类型的模型中的已知结果一致，表明在相同风险参数下渐近行为具有普适性。
• 当 $\beta \geq 1$ 时，即 $2a/\sigma^2 \geq 2$ 时，破产以概率1发生，证实了波动率相对于漂移项的关键作用。
• 为具有投资的Sparre Andersen模型导出了几乎必然破产的充分条件，将早期结果推广至更新型索赔到达过程。