[论文解读] Ruin probability of a discrete-time risk process with proportional reinsurance and investment for exponential and Pareto distributions

Helena Jasiulewicz, Wojciech Kordecki|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2013

Probability and Risk Models参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文研究了在比例再保险和随机投资收益下，离散时间风险过程中有限时域的破产概率，重点关注指数分布（轻尾）和帕累托分布（重尾）的损失分布。论文推导了破产概率的递推方程，为指数索赔提供了 Lundberg 上界，并在初始资本增加时建立了帕累托索赔的渐近近似，展示了快速收敛性与在不同再保险水平和利率下的风险管理决策中的实际应用价值。

ABSTRACT

In this paper a quantitative analysis of the ruin probability in finite time of discrete risk process with proportional reinsurance and investment of finance surplus is focused on. It is assumed that the total loss on a unit interval has a light-tailed distribution -- exponential distribution and a heavy-tailed distribution -- Pareto distribution. The ruin probability for finite-horizon 5 and 10 was determined from recurrence equations. Moreover for exponential distribution the upper bound of ruin probability by Lundberg adjustment coefficient is given. For Pareto distribution the adjustment coefficient does not exist, hence an asymptotic approximation of the ruin probability if an initial capital tends to infinity is given. Obtained numerical results are given as tables and they are illustrated as graphs.

研究动机与目标

• 研究具有比例再保险和盈余投资的离散时间风险过程中有限时域的破产概率。
• 评估在再保险人加成超过保险人加成（ξ > θ）时，Lundberg 上界在指数索赔下的破产概率性能，特别是其有效性。
• 开发并验证在初始资本增加时，针对重尾帕累托索赔的破产概率渐近近似。
• 为实现可接受的破产概率阈值，提供关于最优再保险自留水平和初始资本要求的实用指导。
• 在几何矩相同的情况下，比较指数（轻尾）和帕累托（重尾）分布下的数值结果。

提出的方法

• 推导具有比例再保险和盈余随机利率的离散时间风险模型中有限时域破产概率的递推方程。
• 应用 Lundberg 调整系数方法，推导指数索赔下破产概率的上界。
• 利用正规变尾理论，建立帕累托重尾索赔下破产概率的理论渐近近似。
• 使用数值计算求解递推方程，生成不同初始资本、自留水平和利率组合下的破产概率表和图表。
• 通过匹配其几何均值和方差，对指数和帕累托分布的结果进行公平的数值比较。
• 通过绘制破产概率随初始资本和自留水平变化的图形，直观展示趋势和收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 离散时间风险过程是否表现出与连续时间模型相同的最优自留行为，即通过调整系数最大化来确定最优自留？
• RQ2 当再保险人加成超过保险人加成（ξ > θ）时，Lundberg 上界在破产概率估计中的准确性如何，特别是在比例再保险背景下？
• RQ3 随着初始资本增加，重尾帕累托索赔下的破产概率渐近近似是否既准确又快速收敛？
• RQ4 初始资本、再保险自留水平与破产概率之间在轻尾和重尾损失分布下的关系如何？
• RQ5 能否利用数值表格和图表确定最小初始资本或最优自留水平，以确保破产概率低于指定阈值（例如 0.05）？

主要发现

• 对于指数索赔，Lundberg 上界仍然有效，但当再保险人加成超过保险人加成（ξ > θ）时，其精度下降，因为调整系数不再具有凸性。
• 当 ξ = θ 时，调整系数具有凸性，从而提高了上界的质量；但当 ξ > θ 时，该凸性消失，导致上界可靠性下降。
• 对于帕累托分布的索赔，随着初始资本增加，破产概率的渐近近似迅速收敛至极限值，证实了其实际应用价值。
• 数值结果表明，在固定初始资本下，自留水平越高，破产概率越大，表明在离散模型中最小自留可最小化破产概率。
• 对于 5 年期限和 5% 利率，如表 4 中的 'lack' 所示，在帕累托索赔下，对于任意自留水平 b ∈ (0.2,1]，初始资本 u=1 均不足以使破产概率低于 0.05。
• 图 3 和图 4 的图表表明，随着初始资本增加，破产概率下降；随着自留水平降低，破产概率也下降，且低自留和高资本条件下的下降更为陡峭。