[论文解读] Runge-Kutta Characterization of the Generalized Summation-by-Parts Approach in Time

Pieter D. Boom, David W. Zingg|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2014

Numerical methods for differential equations参考文献 23被引用 6

一句话总结

本文证明了广义求和-分部（GSBP）时间推进方法等价于隐式龙格-库塔格式，从而可将既有的龙格-库塔阶次条件与稳定性理论应用于SBP与GSBP方法。本文推导出新的L-稳定与代数稳定GSBP方法，包括一种四阶段七阶全隐式方法，并证明了在密集范数条件下非线性稳定性。

ABSTRACT

This article extends the theory of dual-consistent summation-by-parts (SBP) and generalized SBP (GSBP) time-marching methods by showing that they are implicit Runge-Kutta schemes. Through this connection, the accuracy theory for the pointwise solution, as well as the solution projected to the end of each time step, is extended for nonlinear problems. Furthermore, it is shown that these minimum guaranteed order results can be superseded by leveraging the full nonlinear order conditions of Runge-Kutta methods. The connection to Runge-Kutta methods is also exploited to derive conditions under which SBP and GSBP time-marching methods associated with dense norms are nonlinearly stable. A few known and novel Runge-Kutta methods with associated GSBP operators are presented. The novel methods, all of which are L-stable and algebraically-stable, include a four-stage seventh-order fully-implicit method, a three-stage third-order diagonally-implicit method, and a fourth-order four-stage diagonally-implicit method.

研究动机与目标

• 将SBP与GSBP时间推进方法的精度与稳定性理论从线性问题扩展至非线性问题。
• 建立GSBP时间积分与隐式龙格-库塔格式之间的正式联系。
• 利用龙格-库塔阶次条件与稳定性理论，推导出具有保证稳定性的新型高阶GSBP方法。
• 识别GSBP方法在密集范数下实现非线性稳定性的条件。
• 提出新型GSBP-嵌入龙格-库塔方法，包括L-稳定与代数稳定变体。

提出的方法

• 理论分析表明，通过其Butcher表结构，GSBP时间推进格式与隐式龙格-库塔格式等价。
• 本文应用经典龙格-库塔阶次条件，推导出GSBP格式在非线性问题中保证的最小阶精度。
• 通过与龙格-库塔理论的联系，特别是L-稳定性和代数稳定性条件，分析非线性稳定性。
• 通过将已知的龙格-库塔方法——如对角隐式与全隐式格式——嵌入GSBP框架，构建新型GSBP算子。
• 密集范数GSBP格式的稳定性条件推导依赖于其底层龙格-库塔方法的代数结构。
• 构造并验证了新型方法，包括一种四阶段七阶全隐式GSBP方法及三种对角隐式方法（三阶与四阶）。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用龙格-库塔阶次条件将SBP与GSBP时间积分的精度理论扩展至非线性问题？
• RQ2 GSBP格式在密集范数下实现非线性稳定性的条件是什么？
• RQ3 哪些已知的龙格-库塔方法可被嵌入GSBP框架以生成新型GSBP时间积分格式？
• RQ4 能否系统地从龙格-库塔理论推导出新型高阶、L-稳定与代数稳定的GSBP方法？
• RQ5 龙格-库塔表征如何提升GSBP时间积分的阶次与稳定性特性？

主要发现

• GSBP时间推进方法在形式上等价于隐式龙格-库塔格式，从而可应用成熟的龙格-库塔阶次与稳定性理论。
• 通过完整非线性阶次条件，GSBP格式在非线性问题中的最小保证精度得到扩展。
• 当底层龙格-库塔方法满足L-稳定性或代数稳定性时，GSBP方法在密集范数下可实现非线性稳定性。
• 推导出一种新型四阶段七阶全隐式GSBP方法，其同时具备L-稳定与代数稳定性。
• 提出三种新型对角隐式GSBP方法：一种三阶段三阶方法与一种四阶段四阶方法，二者均具有L-稳定与代数稳定性。
• 理论框架使得通过利用已知龙格-库塔格式，系统构建高阶、稳定的GSBP时间积分格式成为可能。