[论文解读] Runtime Analysis of RLS and the (1+1) EA for the Chance-constrained Knapsack Problem with Correlated Uniform Weights

Yue Xie, Aneta Neumann+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2021

Optimization and Packing Problems参考文献 29被引用 4

一句话总结

本论文首次对具有相关均匀权重的机遇约束0-1背包问题中的随机局部搜索（RLS）和（1+1）EA进行了运行时间分析，其中各组内物品的权重呈依赖关系。研究建立了RLS找到可行解的上界为O(n log n)，（1+1）EA为O(n² log n)；在均匀和任意利润配置下，分别得到找到最优解的上界为O(n³)和O(n³(log n + log p_max))。

ABSTRACT

Addressing a complex real-world optimization problem is a challenging task. The chance-constrained knapsack problem with correlated uniform weights plays an important role in the case where dependent stochastic components are considered. We perform runtime analysis of a randomized search algorithm (RSA) and a basic evolutionary algorithm (EA) for the chance-constrained knapsack problem with correlated uniform weights. We prove bounds for both algorithms for producing a feasible solution. Furthermore, we investigate the behavior of the algorithms and carry out analyses on two settings: uniform profit value and the setting in which every group shares an arbitrary profit profile. We provide insight into the structure of these problems and show how the weight correlations and the different types of profit profiles influence the runtime behavior of both algorithms in the chance-constrained setting.

研究动机与目标

• 分析RLS和（1+1）EA在具有相关均匀权重的机遇约束0-1背包问题上的期望优化时间。
• 研究权重相关性与利润配置对随机搜索算法在机遇约束环境下运行时间行为的影响。
• 在不同利润配置下，提供找到可行解与最优解所需时间的理论边界。
• 通过引入组内权重相关性，将先前机遇约束优化的理论工作拓展至演化计算中的新设定。

提出的方法

• 研究将机遇约束0-1背包问题建模为K个组的物品集合，其中每组内权重相关且服从均匀分布。
• 基于切比雪夫不等式构造代理函数以估计约束违反概率，从而支持标准演化算法的应用。
• 采用乘性漂移分析方法，对达到可行解与最优解的期望时间进行运行时间分析。
• 在均匀利润情况下，分析利用平衡解的结构特性和2位翻转序列，对改进步骤进行边界控制。
• 在任意但组对称利润情况下，分析构建了一类保持可行性的2位翻转序列，其每步的期望收益被限定为g(x)/(e n²)。
• 通过分析达到最大利润且违反概率最小的解所需步数，结合组大小与利润方差，推导出理论边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有相关均匀权重的机遇约束0-1背包问题中，RLS和（1+1）EA找到可行解的期望运行时间是多少？
• RQ2 组内权重相关性如何影响随机搜索算法的收敛时间？
• RQ3 在机遇约束环境下，当所有物品具有相同利润值（即均匀利润）时，运行时间边界是什么？
• RQ4 当每组具有相同的任意利润值集合但组间利润不同时，算法性能如何变化？
• RQ5 在存在依赖随机权重的机遇约束环境下，乘性漂移分析能否有效用于推导边界？

主要发现

• 在具有相关均匀权重的机遇约束0-1背包问题中，RLS以期望时间O(n log n)找到可行解，（1+1）EA以O(n² log n)时间找到可行解。
• 在均匀利润情况下，RLS需O(n³)期望时间达到最优解，而（1+1）EA需O(n³ log n)时间。
• 在任意但组对称利润情况下，（1+1）EA找到最优解的上界为O(n³(log n + log p_max))。
• RLS在任意利润情况下对最优解的上界为O(n³)，表明该算法对利润大小的敏感性低于（1+1）EA。
• 分析表明，平衡解的结构——即组内大小方差最小的解——在最小化约束违反概率方面起着关键作用。
• 通过使用保持可行性且提升利润的2位翻转序列，能够推导出乘性漂移边界，从而获得紧致的运行时间估计。