[论文解读] S^1-Equivariant simplicial algebras and de Rham theory

Bertrand Toën, Gabriele Vezzosi|ArXiv.org|Apr 21, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 10

一句话总结

本文在函子性与同伦理论的框架下，建立了 $S^1$-等变单纯 $k$-代数与 $\epsilon$-dg-代数之间的等价关系，证明了光滑 $k$-代数 $A$ 的 de Rham 代数自然同构于 $S^1 \otimes A$ 的 $S^1$-同伦固定点。关键结果将光滑 $k$-概形的导出循环空间上的 $S^1$-等变函数与它的 de Rham 上同调联系起来，为 Hochschild-Kostant-Rosenberg 定理提供了直接且乘法性的证明。

ABSTRACT

This is a companion paper our previous submission "\infty-categories monoidales rigides et caracteres de Chern", in which we give a comparison between functions on the derived loop space of a smooth scheme of caracteristic zero, and its algebraic de Rham cohomology. As a consequence we obtain functorial and multiplicative versions of the HKR decomposition theorem relating Hochschild homology and Hodge cohomology.

研究动机与目标

• 建立光滑 $k$-概形 $X$ 的导出循环空间 $LX$ 上的函数与它的 de Rham 上同调之间的直接、函子性比较，绕过循环同伦理论。
• 在 $S^1$-等变单纯 $k$-代数范畴与 $\epsilon$-dg-代数范畴之间建立同伦理论等价。
• 在导出代数几何中，为分离的 $k$-概形提供 Hochschild-Kostant-Rosenberg 同构的新乘法性证明。
• 通过将 $\epsilon$-算子与 $S^1$-作用在 $S^1 \otimes A$ 上的关系联系起来，阐明 $\epsilon$-算子在 de Rham 理论中的作用。

提出的方法

• 将 $S^1 \otimes A$ 定义为光滑 $k$-代数 $A$ 与单纯群 $S^1 = B\mathbb{Z}$ 的张量积，赋予自然的 $S^1$-作用（平移作用）。
• 将 $\epsilon$-dg-代数 $\epsilon(A)$ 构造为 de Rham 代数 $DR(A) = \mathrm{Sym}_A(\Omega_{A/k}^1[1])$，并赋予一个满足分次莱布尼茨法则的次数为 $-1$ 的算子 $\epsilon$。
• 利用导出函子 $\mathbb{L}\epsilon$ 与 $S^1 \otimes^\mathbb{L} -$，在 $S^1$-等变单纯 $k$-代数的同伦理论与 $\epsilon$-dg-代数之间建立导出等价 $\phi$。
• 通过归一化函子 $N$ 将单纯代数与 dg-代数联系起来，并证明对任意单纯 $k$-代数 $A$，有 $\mathbb{L}\epsilon(N(A)) \simeq \phi(S^1 \otimes^\mathbb{L} A)$。
• 将该等价关系应用于分离 $k$-概形 $X$ 的结构层 $\mathcal{O}_X$，得到 $\phi(\mathcal{O}(LX)) \simeq \mathbb{R}\Gamma(X, \epsilon(X))$，其中 $\mathcal{O}(LX) = \mathbb{R}\Gamma(X, S^1 \otimes \mathcal{O}_X)$。
• 利用同构 $\mathrm{Hom}_{Ho(\epsilon\text{-}dg\text{-}mod)}(k, B) \simeq H^0(\mathrm{Tot}(\mathcal{B}B^{-}))$，将 $\mathcal{O}(LX)$ 的 $S^1$-同伦固定点计算为 $X$ 的偶数阶 de Rham 上同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不经过循环同伦理论的前提下，直接将光滑 $k$-概形的导出循环空间与其 de Rham 上同调联系起来？
• RQ2 $S^1$-等变单纯代数与 $\epsilon$-dg-代数之间的确切同伦理论关系是什么？
• RQ3 Hochschild-Kostant-Rosenberg 同构是否可以在导出代数几何中作为函子性、乘法性等价关系被恢复？
• RQ4 de Rham复形上的 $\epsilon$-算子如何对应于 $S^1 \otimes A$ 上的 $S^1$-作用？
• RQ5 $S^1 \otimes \mathcal{O}_X$ 的同伦固定点谱在 de Rham 上同调中如何表示？

主要发现

• $\mathcal{O}(LX) = \mathbb{R}\Gamma(X, S^1 \otimes \mathcal{O}_X)$ 的 $S^1$-同伦固定点同构于 $X$ 的偶数阶 de Rham 上同调，即 $\pi_0(\mathcal{O}(LX)^{hS^1}) \simeq H^{ev}_{DR}(X)$。
• 存在一个函子性、同伦理论等价 $\phi$，在 $S^1$-等变单纯 $k$-代数的同伦理论与 $\epsilon$-dg-代数之间，使得对任意光滑 $k$-代数 $A$，有 $\phi(S^1 \otimes A) \simeq \epsilon(A)$。
• 光滑 $k$-概形 $X$ 的导出循环空间 $LX$ 上的 $S^1$-等变函数同构于 $X$ 的 de Rham 复形，且 $\epsilon(A)$ 上的 $\epsilon$-结构对应于 $S^1 \otimes A$ 上的 $S^1$-作用。
• 在 $\mathcal{O}_X$-dg-代数的同伦范畴中，同构 $\mathrm{Sym}_{\mathcal{O}_X}(\mathbb{L}_{X/k}[1]) \simeq \mathcal{O}_X \otimes^{\mathbb{L}}_{\mathcal{O}_X \otimes^{\mathbb{L}}_k \mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X$ 成立，推广了 HKR 定理。
• 周期性循环上同调被恢复为 $H^*_{\mathrm{per}}(X/k) \simeq \pi_*(\mathbb{R}\Gamma(X, S^1 \otimes \mathcal{O}_X)^{hS^1})[u^{-1}]$，其中 $u$ 是一个次数为 2 的形式变量。