[论文解读] S-crucial and bicrucial permutations with respect to squares

Ian P. Gent, Sergey Kitaev+3 more|Strathprints: The University of Strathclyde institutional repository (University of Strathclyde)|Feb 14, 2014

semigroups and automata theory参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文通过使用 Minion 求解器的约束编程方法，解决了关于平方相关的双关键与 S-关键排列的开放问题。研究证明，存在偶数长度的双关键排列，其最小长度为 32；且对于 $k=2,3$，存在长度为 $8k+3$ 的双关键排列，但 $k=1$ 时不成立。此外，研究还确定了关于平方的最小 S-关键排列长度为 17，并生成了此类排列的大量数据。

ABSTRACT

A permutation is square-free if it does not contain two consecutive factors of length two or more that are order-isomorphic. A permutation is bicrucial with respect to squares if it is square-free but any extension of it to the right or to the left by any element gives a permutation that is not square-free. Bicrucial permutations with respect to squares were studied by Avgustinovich et al., who proved that there exist bicrucial permutations of lengths $8k+1, 8k+5, 8k+7$ for $k\ge 1$. It was left as open questions whether bicrucial permutations of even length, or such permutations of length $8k+3$ exist. In this paper, we provide an encoding of orderings which allows us, using the constraint solver Minion, to show that bicrucial permutations of even length exist, and the smallest such permutations are of length 32. To show that 32 is the minimum length in question, we establish a result on left-crucial (that is, not extendable to the left) square-free permutations which begin with three elements in monotone order. Also, we show that bicrucial permutations of length $8k+3$ exist for $k=2,3$ and they do not exist for $k=1$. Further, we generalise the notions of right-crucial, left-crucial, and bicrucial permutations studied in the literature in various contexts, by introducing the notion of $P$-crucial permutations that can be extended to the notion of $P$-crucial words. In S-crucial permutations, a particular case of $P$-crucial permutations, we deal with permutations that avoid prohibitions, but whose extensions in any position contain a prohibition. We show that S-crucial permutations exist with respect to squares, and minimal such permutations are of length 17. Finally, using our software, we generate much of relevant data showing, for example, that there are 162,190,472 bicrucial square-free permutations of length 19.

研究动机与目标

• 解决关于偶数长度双关键排列以及 $k \geq 1$ 时长度为 $8k+3$ 的双关键排列存在性的开放问题。
• 确立关于平方的 S-关键排列的存在性及其最小长度。
• 将右关键、左关键与双关键排列的概念推广至任意禁止位置集合 $P$ 的 $P$-关键排列，并将其应用于避免平方的排列。
• 开发并应用一种新颖的排序编码方法，用于基于约束的平方自由排列枚举。
• 使用 Minion 约束求解器生成双关键与 S-关键排列的全面数据。

提出的方法

• 通过元素之间的重言性二元不等式编码排列，以表示同构顺序并检测平方。
• 使用 Minion 约束求解器，结合 SSAC 预处理与 dom/wdeg 搜索启发式，提升效率。
• 通过字典序最小化方法进行对称性约减，以统计互补与反转对称下的解数量。
• 通过确保任意向左或向右扩展都会引入平方，来制定关键性约束。
• 通过验证解的补集与逆序也满足相同性质，来验证结果。
• 使用自定义编码将排列表示为顺序约束序列，从而实现高效的平方检测与关键性检查。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在偶数长度的双关键排列？若存在，其最小长度是多少？
• RQ2 对于 $k \geq 1$，是否存在长度为 $8k+3$ 的双关键排列？若存在，适用于哪些 $k$ 值？
• RQ3 关于平方的 S-关键排列的最小长度是多少？
• RQ4 能否将关键排列的概念推广至任意禁止位置集合 $P$ 的 $P$-关键排列？
• RQ5 是否存在任意长的双关键或 S-关键排列（关于平方）？

主要发现

• 存在偶数长度的双关键排列，其最小长度为 32。
• 长度为 $8k+3$ 的双关键排列在 $k=2$ 与 $k=3$ 时存在，但在 $k=1$ 时不成立，从而解决了此前的开放问题。
• 关于平方的最小 S-关键排列长度为 17，且在长度 21 时至少存在 144,586 个对称意义下不同的此类排列。
• 通过约束求解器计算得出，长度为 19 的双关键平方自由排列共有 162,190,472 个。
• 结合 SSAC 预处理与 dom/wdeg 启发式的约束编程方法显著减少了搜索空间，使问题求解规模扩展至 $n=26$，超越了以往的限制。
• 本研究证实，S-关键排列存在于长度超过 21 的情况下，并推测存在任意长的此类排列。