[论文解读] $S$-duality of $u(1)$ gauge theory with $θ=π$ on non-orientable manifolds: Applications to topological insulators and superconductors

Max A. Metlitski|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2015

Black Holes and Theoretical Physics被引用 37

一句话总结

本文建立了在非可定向流形上，通过T或CT对称性实现时间反演对称性的θ=π的U(1)规范理论之间的S对偶性。通过在RP⁴上计算路径积分，证明了这两个理论的等价性，验证了一个猜想：规范化的拓扑绝缘体（AII类）与规范化的拓扑超导体（AIII类）是S对偶的，从而可推导出非平凡的绝缘表面态。

ABSTRACT

Electric-magnetic duality ($S$-duality) is a well-known property of pure $u(1)$ gauge theory in 3+1 dimensions. In this paper, we investigate the compatibility of this duality with time-reversal symmetry. We consider two theories obtained by coupling a Dirac fermion with an "inverted" sign of the mass $m$ to a $u(1)$ gauge field. Time-reversal in the two theories is implemented respectively via the $T$ and $CT$ symmetries of the Dirac fermion. It was recently conjectured (C. Wang and T. Senthil (arXiv:1505.03520), and M. Metlitski and A.Vishwanath (arXiv:1505.05142)) that in the $|m| o \infty$ limit these two theories are $S$-dual to each other. We provide support for this conjecture by studying partition functions of the two theories on non-orientable manifolds as a way to probe the realization of time-reversal. Upon integrating out the Dirac fermion, topological terms in the actions of the two theories are generated. While on an orientable manifold topological terms in both theories reduce to a $θ$-term with $θ= π$, on a non-orientable manifold they are distinct. We explicitly compute partition functions of the two theories on the manifold $\mathbb{RP}^4$ and show that they are equal; this result combined with certain physical arguments is sufficient to establish the duality. The two theories can be viewed as a gauged topological insulator in class AII and a gauged topological superconductor in class AIII, and the bulk duality allows us to derive previously conjectured non-trivial symmetric gapped surface states of these phases.

研究动机与目标

• 研究S对偶性与U(1)规范理论中θ=π的时空反演对称性之间的相容性。
• 检验一个猜想：在|m|→∞极限下，两种U(1)规范理论——时间反演通过T或CT对称性实现——是S对偶的。
• 利用体对偶性推导出拓扑绝缘体与超导体的非平凡对称绝缘表面态。
• 在非可定向流形（特别是RP⁴）上计算路径积分，以探测时间反演的实现方式并验证对偶性。

提出的方法

• 计算在非可定向流形上带有质量m的狄拉克费米子的路径积分，区分T与CT时间反演对称性。
• 积分掉狄拉克费米子，生成有效作用量中的拓扑项，尽管在可定向流形上两者均简化为θ=π，但在非可定向流形上其表现不同。
• 利用流形RP⁴计算并比较两种理论的路径积分，证明在S对偶下两者相等。
• 应用雷德迈斯特扭量与解析扭量技术，将路径积分与拓扑不变量关联。
• 依赖于切赫-穆勒定理，通过正交基与整系数上同调基，将雷德迈斯特扭量与解析扭量等同。
• 通过证明路径积分在S对偶下匹配，建立对偶性，该结果得到物理一致性与拓扑不变性的支持。

实验结果

研究问题

• RQ1 在|m|→∞极限下，通过T或CT对称性实现时间反演的θ=π的U(1)规范理论是否彼此S对偶？
• RQ2 当时间反演通过T或CT对称性实现时，U(1)规范理论在非可定向流形上的拓扑项有何不同？
• RQ3 能否利用RP⁴上的路径积分来检验θ=π的费米子U(1)规范理论中的S对偶性？
• RQ4 在此背景下，雷德迈斯特扭量在计算非可定向流形上的路径积分中起什么作用？
• RQ5 拓扑绝缘体与超导体之间的对偶性如何从非可定向时空上的体S对偶性中涌现？

主要发现

• 在RP⁴上计算的、通过T或CT对称性实现时间反演的两个θ=π的U(1)规范理论的路径积分相等。
• 该等式为一个猜想提供了强有力证据：尽管在非可定向流形上其拓扑项不同，但这两个理论在S对偶下是等价的。
• 该对偶性证实了AII类的规范化拓扑绝缘体与AIII类的规范化拓扑超导体之间存在S对偶关系。
• 计算表明，RP⁴上的有效作用量通过雷德迈斯特扭量正确捕捉了上同调中的挠率等拓扑不变量。
• 该结果意味着这些拓扑相存在非平凡的对称绝缘表面态，与早期猜想一致。
• 通过分析扭量与雷德迈斯特扭量的精确匹配，结合切赫-穆勒定理，确立了S对偶下路径积分的等价性。