[论文解读] s-Inversion Sequences and P-Partitions of Type B

William Y. C. Chen, Alan J. X. Guo+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2013

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文证明了Savage与Visontai的猜想：在多重集{1², 2², ..., n²}上的带符号排列的下降数，与s = (1,4,3,8,5,12,...)的s-反序序列在长度2n时的上升数是等分布的。通过类型B的P-分拆和生成函数，作者建立了带符号标记森林的线性扩展与这些带符号排列之间的双射，确认了等分布性，并为类型B排列的下降统计量的生成函数提供了新的组合解释。

ABSTRACT

Given a sequence $s=(s_1,s_2,\ldots)$ of positive integers, the inversion sequences with respect to $s$, or $s$-inversion sequences, were introduced by Savage and Schuster in their study of lecture hall polytopes. A sequence $(e_1,e_2,\ldots,e_n)$ of nonnegative integers is called an $s$-inversion sequence of length $n$ if $0\leq e_i < s_i$ for $1\leq i\leq n$. Let I(n) be the set of $s$-inversion sequences of length $n$ for $s=(1,4,3,8,5,12,\ldots)$, that is, $s_{2i}=4i$ and $s_{2i-1}=2i-1$ for $i\geq1$, and let $P_n$ be the set of signed permutations on $\{1^2,2^2,\ldots,n^2\}$. Savage and Visontai conjectured that when $n=2k$, the ascent number over $I_n$ is equidistributed with the descent number over $P_k$. For a positive integer $n$, we use type $B$ $P$-partitions to give a characterization of signed permutations over which the descent number is equidistributed with the ascent number over $I_n$. When $n$ is even, this confirms the conjecture of Savage and Visontai. Moreover, let $I'_n$ be the set of $s$-inversion sequences of length $n$ for $s=(2,2,6,4,10,6,\ldots)$, that is, $s_{2i}=2i$ and $s_{2i-1}=4i-2$ for $i\geq1$. We find a set of signed permutations over which the descent number is equidistributed with the ascent number over $I'_n$.

研究动机与目标

• 解决Savage与Visontai关于特定s序列下，带符号排列的下降数与s-反序序列的上升数等分布性的猜想。
• 通过将s-反序序列与类型B P-分拆及带符号排列的生成函数联系起来，扩展s-反序序列的理论。
• 在带符号标记森林的线性扩展与类型B排列的下降统计量之间建立组合联系。
• 通过s-反序序列的等分布性，为带符号排列的下降数生成函数提供新的实根性证明。

提出的方法

• 为s = (1,4,3,8,5,12,...)定义s-反序序列，约束条件为0 ≤ e_i < s_i，并将上升数定义为满足e_i/s_i < e_{i+1}/s_{i+1}的索引i的个数。
• 使用类型B P-分拆来刻画带符号排列，使得其下降数与s-反序序列的上升数等分布。
• 构造在{1², 2², ..., n²}上的带符号排列的下降数的生成函数，并将其与长度为2n的s-反序序列的上升数生成函数关联。
• 通过带标签的树结构T_i及其带符号标记，建立带符号标记森林的线性扩展与集合P_n中带符号排列之间的下降保持双射。
• 应用Savage与Schuster建立的生成函数恒等式，将f_n^{(s)}(t)与s-反序序列的上升生成函数关联，从而推导出等分布结果。
• 通过证明P_n的下降数生成函数与I_{2n}的上升数生成函数满足相同的函数方程（涉及(t+1)^n(2t+1)^n），从而证明两者相等。

实验结果

研究问题

• RQ1 在s = (1,4,3,8,5,12,...)下，{1², 2², ..., n²}上的带符号排列的下降数是否与长度2n的s-反序序列的上升数等分布？
• RQ2 是否可以使用类型B P-分拆来刻画其下降数与s-反序序列上升数相等的带符号排列？
• RQ3 P_n的下降数生成函数是否满足与I_{2n}的上升数生成函数相同的函数方程？
• RQ4 是否可以通过带符号标记森林的线性扩展与P_n中带符号排列之间的双射来证明等分布性？

主要发现

• 在{1², 2², ..., n²}上的带符号排列集合P_n上的下降数与s = (1,4,3,8,5,12,...)的长度2n的s-反序序列集合I_{2n}上的上升数等分布，确认了Savage与Visontai的猜想1.1。
• P_n的下降数生成函数P_n(x)等于I_{2n}的上升数生成函数I_{2n}(x)，因为两者均满足包含(t+1)^n(2t+1)^n的相同函数方程。
• 对于s' = (2,2,6,4,10,6,...)的s-反序序列，其上升数生成函数满足∑_{e∈I'_{2n}} x^{asc(e)} = I_{2n}(x)，通过其上升生成函数将两个不同的s-序列联系起来。
• 证明表明，P_n上下降数的生成函数等于带符号标记森林F_n'的线性扩展上下降数的生成函数，其表达式为(1-x)^{-2n}乘以对t求和的(t+1)^{n-1}(2t+1)^n x^t。
• 求和∑_{w∈L(F_n')} Ω_{F_n'}(w,t)等于(t+1)^{n-1}(2t+1)^n，这证实了函数方程并完成了等分布性的证明。