[论文解读] Saccharinity with ccc

Haim Horowitz, Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2016

Advanced Topology and Set Theory被引用 3

一句话总结

该论文使用链状迫零技术构建了Suslin ccc迫零算符，以证明ZFC与ZF + '所有实数集均为$I_{\mathbb{Q},\aleph_1}$-可测' + '存在一个$\omega_1$-序列的相异实数'是等一致的，且无需假定不可达基数。这些迫零算符是非甜的且非同构的，但仍然保持ccc性质，并确保所有模理想可定义的集合均为Borel集，从而在违反$AC_{\aleph_0}$的模型中实现了强正则性。

ABSTRACT

Using creature technology, we construct families of Suslin ccc non-sweet forcing notions $\mathbb Q$ such that $ZFC$ is equiconsistent with $ZF+$"every set of reals equals a Borel set modulo the $(\leq \aleph_1)$-closure of the null ideal associated with $\mathbb Q$"+"there is an $ω_1$-sequence of distinct reals". This answers a question of the second author and Kellner. As an application of independent interest, we also show how our forcing adds a new $Π^1_2$ singleton over $L$ without relying on $L$-combinatorics.

研究动机与目标

• 对可定义的ccc迫零算符进行分类，以确定ZF + '所有实数集均为$I_{\mathbb{Q},\kappa}$-可测'（$\kappa = \aleph_1$）的一致性强度。
• 研究此类正则性性质是否可在不假设不可达基数或'甜性'性质的情况下实现。
• 构造非甜、Suslin、ccc迫零算符，以生成所有实数集均为$I_{\mathbb{Q},\aleph_1}$-可测的模型。
• 探讨非良基迭代与链状迫零技术在无全选择公理的模型中实现同构性与正则性的作用。

提出的方法

• 使用[RoSh470]和[RoSh628]中的链状迫零技术，定义具有有限分支树和后继节点上范数的参数化迫零算符$\mathbb{Q}_{\mathbb{n}}^1$与$\mathbb{Q}_{\mathbb{n}}^2$。
• 在迭代中实施非良基线性序，以在个体迫零算符非同构的情况下实现强同构性。
• 定义与添加通用实数的迫零算符$\mathbb{Q}$相关的理想$I_{\mathbb{Q},\kappa}$，推广勒贝格与贝尔性质。
• 引入'远'参数的概念，以确保通用实数之间的独立性，并控制其在扩张中的分布。
• 应用紧致性论证，并证明在$\mathbb{Q}_{\mathbb{n}}^2$中，成为极大反链是Borel性质，从而确保可定义性。
• 在基模型中使用非构造性选择公理，以获得一个$\omega_1$-序列的相异实数，该序列在扩张中因ccc性质而得以保持。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将'所有实数集均为$I_{\mathbb{Q},\aleph_1}$-可测'的一致性强度降低至低于不可达基数的水平，针对ccc迫零算符？
• RQ2 是否可能在不假设'甜性'性质的情况下实现此类正则性，特别是在非甜ccc迫零中？
• RQ3 能否在不使用$AC_{\aleph_0}$的情况下，构造一个ZF + '所有实数集均为$I_{\mathbb{Q},\aleph_1}$-可测' + '存在一个$\omega_1$-序列的相异实数'的模型？
• RQ4 非良基迭代在实现非同构迫零构造中的同构性方面起到什么作用？
• RQ5 此类结果能否推广到理想$I_{\mathbb{Q},\aleph_0}$，还是$\aleph_1$-基理想是必需的？

主要发现

• 该论文使用链状迫零技术构造了Suslin ccc迫零算符$\mathbb{Q}_{\mathbb{n}}^i$，其为非甜且非同构的，但仍然保持ccc性质。
• 证明了ZFC与ZF + '所有实数集均为$I_{\mathbb{Q}_{\mathbb{n}}^i,\aleph_1}$-可测' + '存在一个$\omega_1$-序列的相异实数'是等一致的。
• 所构造的模型满足ZF + '所有模$I_{\mathbb{Q}_{\mathbb{n}}^i,\aleph_1}$可定义的集合均为Borel集'，但不满足$AC_{\aleph_0}$，表明其一致性强度分类更为精细。
• 迫零算符确保每个通用实数均由条件的主干明确决定，且迭代中未添加除迭代中已存在的实数之外的新实数。
• 迭代序的共尾性大于$\aleph_1$，这确保了并非所有通用实数都能被理想中的$\aleph_1$个Borel集覆盖。
• 结果表明，$\omega_1$-序列的相异实数的存在性与强正则性性质是一致的，即使它与所有实数集的勒贝格可测性相矛盾。