[论文解读] Safety and Liveness of Quantitative Automata

Udi Boker, Thomas A. Henzinger+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2023

Formal Methods in Verification被引用 4

一句话总结

本文提出了一套形式化框架，用于无限字迹属性的定量安全性和活躍性，將經典的布林安全-活躍概念推廣至具有部分有序值域的定量設定。該框架為常見的定量自動機（Inf, Sup, LimInf, LimSup, LimInfAvg, LimSupAvg, DSum）提供了安全性和活躍性的判決程序，構建了安全閉包，並實現了安全與活躍自動機的最小分解，所有算法在所研究的類別中均以多項式時間運行。

ABSTRACT

Safety and liveness stand as fundamental concepts in formal languages, playing a key role in verification. The safety-liveness classification of boolean properties characterizes whether a given property can be falsified by observing a finite prefix of an infinite computation trace (always for safety, never for liveness). In the quantitative setting, properties are arbitrary functions from infinite words to partially-ordered domains. Extending this paradigm to the quantitative domain, where properties are arbitrary functions mapping infinite words to partially-ordered domains, we introduce and study the notions of quantitative safety and liveness. First, we formally define quantitative safety and liveness, and prove that our definitions induce conservative quantitative generalizations of both the safety-progress hierarchy and the safety-liveness decomposition of boolean properties. Consequently, like their boolean counterparts, quantitative properties can be min-decomposed into safety and liveness parts, or alternatively, max-decomposed into co-safety and co-liveness parts. We further establish a connection between quantitative safety and topological continuity and provide alternative characterizations of quantitative safety and liveness in terms of their boolean analogs. Second, we instantiate our framework with the specific classes of quantitative properties expressed by automata. These quantitative automata contain finitely many states and rational-valued transition weights, and their common value functions Inf, Sup, LimInf, LimSup, LimInfAvg, LimSupAvg, and DSum map infinite words into the totally-ordered domain of real numbers. For all common value functions, we provide a procedure for deciding whether a given automaton is safe or live, we show how to construct its safety closure, and we present a min-decomposition into safe and live automata.

研究动机与目标

• 將經典的安全-活躍對偶性從布林設定推廣至定量性質，其中值取自部分有序域。
• 以保守推廣布林概念並保持拓撲與邏輯性質的方式定義並表徵定量安全性和活躍性。
• 將該框架具體應用於常見的定量自動機（Inf, Sup, LimInf等），並提供安全性和活躍性的判決程序。
• 為每個值函數構建安全閉包，並實現安全與活躍自動機的最小分解。
• 建立定量安全性與拓撲連續性之間的聯繫，並解決這些自動機類別的常數函數問題。

提出的方法

• 將定量安全性定義為：任何錯誤假設 Φ(w) ≥ v 均可在有限前綴後被拒絕；將定量活躍性定義為：存在某個錯誤假設無法在任何有限前綴後被拒絕。
• 引入閾值安全性與拓撲連續性作為替代表徵，將定量安全性與康托拓撲中的連續性聯繫起來。
• 構建一個安全閉包自動機 C，以捕捉所有可達值的上確界，使用環檢測與權重轉換技術。
• 針對每個值函數（例如 LimInfAvg），使用卡普算法或深度優先搜索計算最大環平均值或最高值，從而實現高效的安全部與活躍性檢測。
• 設計一種分解程序，將任意自動機 A 分解為一個安全組件 B（其安全閉包）與一個活躍組件 C，使得對所有無限字 w，均有 A(w) = min(B(w), C(w))。
• 通過將狀態空間擴展至包含複製狀態與吸收狀態，證明活躍組件 C 為活躍：其安全閉包為常數（等於 A 的最高值）。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何將經典的安全-活躍二分法推廣至映射無限字至部分有序域的定量性質？
• RQ2 定量安全性和活躍性的拓撲與邏輯表徵為何？它們與連續性及對偶性有何關係？
• RQ3 對於常見的定量自動機（Inf, Sup, LimInf 等），如何判斷給定自動機是否為安全或活躍？
• RQ4 能否為任意定量自動機構建安全閉包？它是否為最佳安全近似？
• RQ5 是否每個定量自動機均可分解為安全與活躍組件？若可，其效率如何？

主要发现

• 本文建立了布林安全-活躍層次結構向定量性質的保守推廣，並保持了安全與活躍組件的最小分解。
• 對於所有研究的值函數（Inf, Sup, LimInf, LimSup, LimInfAvg, LimSupAvg, DSum），自動機的安全性與活躍性均可在多項式時間內判決。
• 定量自動機的安全閉包可在多項式時間內構建，且為原始自動機的最佳安全近似。
• 總是可實現安全自動機（即安全閉包）與活躍自動機的最小分解，且對所有 w ∈ Σω，均有 A(w) = min(B(w), C(w))。
• 活躍組件 C 通過擴展自動機引入複製狀態與吸收狀態構建，確保所有有限執行路徑均可延展至達成最大值。
• 該框架解決了所研究自動機類別的常數函數問題，從而實現了對自動機是否始終輸出相同值的高效驗證。