[论文解读] Sample path properties of multivariate operator-self-similar stable random fields

Ercan Sönmez|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文通过谐振表示，建立了多变量算子自相似 $\alpha$-稳定随机场的样本路径正则性，并计算了其 Hausdorff 维数。借助 [8] 中的结果，推导出连续性模的上界，从而解决了 [25] 中关于样本路径维数的开放问题。

ABSTRACT

We investigate the sample path regularity of multivariate operator-self-similar {\alpha}-stable random fields with values in R m given by a harmonizable representation. Such fields were introduced in [25] as a generalization of both operator-self-similar stochastic processes and operator scaling random fields and satisfy the scaling property X(c E t) =c D X(t), where E is a real d times d matrix and D is a real m times m matrix. By using results in [8] we give an upper bound on the modulus of continuity. Based on this we determine the Hausdorff dimension of the sample paths. In particular, this solves an open problem in [25].

研究动机与目标

• 分析取值于 $\mathbb{R}^m$ 的多变量算子自相似 $\alpha$-稳定随机场的样本路径正则性。
• 解决 [25] 中提出的关于此类场中样本路径 Hausdorff 维数的开放问题。
• 利用现有理论结果，建立这些随机场的连续性模的上界。

提出的方法

• 利用谐振表示来定义多变量算子自相似 $\alpha$-稳定随机场。
• 应用 [8] 中的结果，推导出样本路径连续性模的上界。
• 利用所得的连续性界分析样本路径的分形几何结构。
• 利用连续性模的估计计算样本路径的 Hausdorff 维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 取值于 $\mathbb{R}^m$ 的多变量算子自相似 $\alpha$-稳定随机场的样本路径正则性如何？
• RQ2 缩放性质 $X(c^E t) = c^D X(t)$ 如何影响这些场的路径行为？
• RQ3 此类场的样本路径的 Hausdorff 维数是多少，如何计算？
• RQ4 能否利用连续性界解决 [25] 中关于路径维数的开放问题？

主要发现

• 利用 [8] 中的理论结果，建立了样本路径连续性模的上界。
• 基于所得的连续性界，计算了样本路径的 Hausdorff 维数。
• 本研究解决了 [25] 中关于多变量算子自相似 $\alpha$-稳定场中样本路径维数的开放问题。
• 结果证实，路径正则性与几何维数由缩放矩阵 $E$ 和 $D$ 所决定。