[论文解读] Sampled-Data Control of the Stefan System

Shumon Koga, Iasson Karafyllis+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2019

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 43被引用 4

一句话总结

本文首次针对具有状态依赖移动边界的Stefan问题（一类非线性PDE）提出基于零阶保持（ZOH）的采样数据边界反馈控制设计，实现数字环境下的连续时间控制律。证明了在控制增益与采样周期之间满足特定条件时，系统在L2范数下具有全局指数稳定性及模型有效性，通过单相和双相Stefan系统的数值仿真得到验证。

ABSTRACT

This paper presents results for the sampled-data boundary feedback control to the Stefan problem. The Stefan problem represents a liquid-solid phase change phenomenon which describes the time evolution of a material's temperature profile and the interface position. First, we consider the sampled-data control for the one-phase Stefan problem by assuming that the solid phase temperature is maintained at the equilibrium melting temperature. We apply Zero-Order-Hold (ZOH) to the nominal continuous-time control law developed in [23] which is designed to drive the liquid-solid interface position to a desired setpoint. Provided that the control gain is bounded by the inverse of the upper diameter of the sampling schedule, we prove that the closed-loop system under the sampled-data control law satisfies some conditions required to validate the physical model, and the system's origin is globally exponentially stable in the spatial $L_2$ norm. Analogous results for the two-phase Stefan problem which incorporates the dynamics of both liquid and solid phases with moving interface position are obtained by applying the proposed procedure to the nominal control law for the two-phase problem developed in [30]. Numerical simulation illustrates the desired performance of the control law implemented to vary at each sampling time and keep constant during the period.

研究动机与目标

• 为解决Stefan问题（具有状态依赖移动边界的非线性PDE类）缺乏采样数据控制设计的问题。
• 将连续时间边界反馈控制律通过零阶保持（ZOH）扩展至实际数字实现。
• 建立控制增益与采样周期之间确保闭环稳定性和物理模型有效性的充分条件。
• 通过单相和双相Stefan系统的数值仿真验证理论结果。
• 为未来基于观测器的输出反馈及量化控制扩展奠定基础。

提出的方法

• 将零阶保持（ZOH）应用于通过反推法推导出的单相和双相Stefan问题的连续时间边界反馈控制律。
• 采用基于李雅普诺夫的分析方法，证明闭环系统在L2范数下的全局指数稳定性。
• 推导控制增益与采样周期之间的关联条件，以确保物理模型有效性，例如边界温度高于熔点。
• 采用边界固定化方法结合有限差分半离散化进行数值仿真。
• 构建能量型李雅普诺夫函数以估计系统范数并建立稳定性界。
• 通过与抛物型PDE耦合的常微分方程（ODE）描述移动界面动力学，确保与热力学约束的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于ZOH的采样数据控制能否稳定具有移动边界的单相Stefan问题，并保持物理模型有效性？
• RQ2 控制增益与采样周期需满足何种条件，才能确保采样数据闭环系统在L2范数下的全局指数稳定性？
• RQ3 所提出的采样数据控制在界面收敛性、控制输入行为及边界温度动态方面表现如何？
• RQ4 单相问题的理论结果能否扩展至包含液相和固相动力学的双相Stefan问题？
• RQ5 在采样时刻存在不连续性的情况下，ZOH实现对控制输入正性和边界温度正性的潜在影响是什么？

主要发现

• 当控制增益受最大采样周期倒数的上界限制时，闭环系统在L2范数下保持全局指数稳定。
• 界面位置单调且平滑地收敛至设定值，无超调，控制输入在采样间隔内保持正值且分段常数。
• 边界温度始终高于熔点，采样瞬间因控制输入的突变产生瞬态尖峰。
• 数值仿真验证了理论稳定性与模型有效性条件，2小时仿真内表现一致。
• 稳定性结果在单相和双相Stefan问题中均成立，且采用相同的基于ZOH的控制律实现原始连续时间控制设计。
• 分析确保了物理模型的有效性，包括液相温度高于熔点的要求，该要求通过控制输入的正性得以维持。