[论文解读] Sampling and interpolation in Bargmann-Fock spaces of polyanalytic functions

Luís Daniel Abreu|ArXiv.org|Jan 28, 2009

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 42被引用 8

一句话总结

本文通过时间频率分析和Gabor框架理论，对多项式解析函数的Bargmann-Fock空间中的格点采样与插值序列进行了完整的表征。引入了多项式Bargmann变换，并证明：对于n阶空间，采样当且仅当Beurling密度超过n，插值当且仅当其小于n，揭示了n阶的‘奈奎斯特速率’依赖关系。

ABSTRACT

Using Gabor analysis, we give a complete characterization of all lattice sampling and interpolating sequences in the Fock space of polyanalytic functions, displaying a "Nyquist rate" which increases with $n$, the degree of polyanaliticity of the space. Such conditions are equivalent to sharp lattice density conditions for certain vector-valued Gabor systems, namely superframes and Gabor super-Riesz sequences with Hermite windows, and in the case of superframes they were studied recently by Gröchenig and Lyubarskii. The proofs of our main results use variations of the Janssen-Ron-Shen duality principle and reveal a duality between sampling and interpolation in polyanalytic spaces, and multiple interpolation and sampling in analytic spaces. To connect these topics we introduce the\emph{polyanalytic Bargmann transform}, a unitary mapping between vector valued Hilbert spaces and polyanalytic Fock spaces, which extends the Bargmann transform to polyanalytic spaces. Motivated by this connection, we discuss a vector-valued version of the Gabor transform. These ideas have natural applications in the context of multiplexing of signals. We also point out that a recent result of Balan, Casazza and Landau, concerning density of Gabor frames, has important consequences for the Gröchenig-Lyubarskii conjecture on the density of Gabor frames with Hermite windows.

研究动机与目标

• 为多项式解析函数的Bargmann-Fock空间中的格点采样与插值序列提供完整的表征。
• 建立多项式Fock空间中的采样与解析Fock空间中多重插值之间的对偶性，反之亦然。
• 引入多项式Bargmann变换，作为向量值希尔伯特空间与多项式Fock空间之间的酉映射。
• 将Gabor框架理论扩展至具有Hermite窗的向量值系统，特别是超框架与超Riesz序列。
• 完全表征具有Hermite窗的Gabor框架与超框架的密度条件，并将其与Gröchenig-Lyubarskii猜想联系起来。

提出的方法

• 利用Janssen-Ron-Shen对偶性原理，将多项式Fock空间中的采样与插值问题与向量值Gabor系统联系起来。
• 将多项式Bargmann变换引入为 $ L^2(\bbR, \bbC^n) $ 与 $ \bF^n(\bbC) $ 之间的酉同构，推广经典Bargmann变换。
• 应用具有Hermite窗的超框架与超Riesz序列理论，推导Gabor系统的密度条件。
• 采用格序列 $ Λ = A\bbZ^2 $ 的Beurling密度 $ D(Λ) = |∂ A|^{-1} $ 来表征采样与插值。
• 利用 $ \bF^n(\bbC) $ 中的采样与 $ \bF^1(\bbC) $ 中的多重插值之间的对偶性，以及 $ \bF^n(\bbC) $ 中的插值与 $ \bF^1(\bbC) $ 中的多重采样之间的对偶性。
• 应用Rieffel-Ramanathan-Steger定理与标量Ron-Shen对偶性，推导出在真实多项式空间 $ \cF^{n-1}(\bbC) $ 中插值的必要条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于n阶多项式解析函数的Bargmann-Fock空间，格点成为采样序列的充要条件是什么？
• RQ2 对于同一空间，格点成为插值序列的充要条件是什么？
• RQ3 多项式Fock空间中的采样与插值如何与经典解析Fock空间中的多重采样与多重插值相关联？
• RQ4 具有Hermite窗的Gabor超框架与超Riesz序列的密度条件能否被完全表征？
• RQ5 本文结果是否支持Gröchenig与Lyubarskii关于Hermite窗Gabor框架密度的猜想？

主要发现

• 当且仅当其Beurling密度满足 $ D(\Gamma) > n $ 时，格点 $ \Gamma $ 是 $ \bF^n(\bbC) $ 的采样序列。
• 当且仅当其Beurling密度满足 $ D(\Gamma) < n $ 时，格点 $ \Gamma $ 是 $ \bF^n(\bbC) $ 的插值序列。
• 在 $ \bF^n(\bbC) $ 中的采样与 $ \bF^1(\bbC) $ 中的多重插值之间，以及在 $ \bF^n(\bbC) $ 中的插值与 $ \bF^1(\bbC) $ 中的多重采样之间的对偶性被严格确立。
• 多项式Bargmann变换是从 $ L^2(\bbR, \bbC^n) $ 到 $ \bF^n(\bbC) $ 的酉映射，将经典Bargmann变换推广至多项式解析函数。
• 结果证实，具有Hermite窗的Gabor超框架的密度阈值是精确的，并随 $ n $ 增加而增加，支持了Gröchenig-Lyubarskii猜想。
• 对于真实多项式空间 $ \cF^{n-1}(\bbC) $，采样的充分条件为 $ D(\Lambda) > n $，插值的必要条件为 $ D(\Lambda) < n $，但后者并非精确的。