[论文解读] Sampling and Reconstruction in Different Subspaces by Using Oblique Projections

Peter Berger, Karlheinz Gröchenig|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2013

Numerical methods in inverse problems参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文提出了一种在希尔伯特空间中的新型采样与重构框架，其中采样与重构在不同子空间中进行，采用斜投影。该方法提出算子 $\mathcal{P}_{GP_U(G)^\perp}$ 作为稳定且与框架无关的重构方法，其相对于重构空间上的正交投影最小化误差，在子空间夹角远离零时实现最优准最优性与稳定性。

ABSTRACT

We introduce a new method for the reconstruction of a function from linear measurements by means of oblique projections. The space spanned by the measurement vectors may be different from the subspace in which the function is reconstructed. This method is a variation of the generalized sampling of Adcock and Hansen. In many cases the use of suitable oblique projections yield a better quasi-optimality constants than in generalized sampling.

研究动机与目标

• 在希尔伯特空间中，当采样与重构子空间不同时，开发一种稳定且一致的重构方法。
• 解决当真实信号位于不同子空间时，从框架系数重构信号的挑战。
• 确保重构算子独立于所用的具体框架，仅依赖于采样与重构子空间的闭包张成。
• 通过算子范数与准最优性常数量化重构的稳定性和近似质量。
• 将所提方法与广义采样及一致采样进行比较，展示其在鲁棒性与稳定性方面的改进。

提出的方法

• 该方法使用斜投影 $\mathcal{P}_{GP_U(G)^\perp}$，其像空间为 $G$，核空间为 $P_U(G)^\perp$，将测量值 $\mathcal{U}^*f$ 映射至 $G$ 中的重构结果。
• 重构算子 $F = Q\mathcal{U}^*$ 通过采样与重构子空间中框架序列的合成与分析算子定义。
• 稳定性通过 $\eta(F) = \|Q|_{\mathcal{R}(\mathcal{U}^*)}\|$ 衡量，即重构映射限制在测量空间上的算子范数。
• 准最优性通过 $\mu(F)$ 量化，即最小常数使得 $\|f - Ff\| \leq \mu \|f - P_G f\|$ 成立，用于比较重构结果与 $G$ 中最佳逼近。
• 该方法推广了一致采样，当采样框架为紧框架时，与广义采样一致。
• 通过子空间 $G$ 与 $U$ 之间夹角的余弦 $\varphi_{GU}$ 推导出 $\mu$ 的理论界，表明 $\mu \leq \sqrt{B}/(\sqrt{A} \cos(\varphi_{GU}))$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当希尔伯特空间中采样与重构发生在不同子空间时，如何实现稳定且一致的信号重构？
• RQ2 在何种条件下可确保重构误差相对于重构子空间中最佳逼近是有界的？
• RQ3 所提出的斜投影方法在稳定性和准确性方面与广义采样及一致采样相比如何？
• RQ4 框架选择在多大程度上影响重构质量？这种依赖关系能否被消除？
• RQ5 采样与重构子空间之间的夹角在决定重构的准最优性与稳定性方面起什么作用？

主要发现

• 所提出的重构算子 $\mathcal{P}_{GP_U(G)^\perp}$ 独立于框架序列 $\{u_j\}$ 与 $\{g_k\}$，仅依赖于其闭线性张成 $U$ 与 $G$，因此具有框架无关性。
• 准最优性常数 $\mu(\mathcal{P}_{GP_U(G)^\perp})$ 的上界为 $\sqrt{B}/(\sqrt{A} \cos(\varphi_{GU}))$，其中 $A$、$B$ 为框架界，$\varphi_{GU}$ 为子空间 $G$ 与 $U$ 之间的夹角。
• 在 $G \subset U$ 的例子中，$\cos(\varphi_{GU}) = 1$，且 $\mu(\mathcal{P}_{GP_U(G)^\perp}) = 1$，表明达到最优性能。
• 稳定性常数 $\eta(\mathcal{P}_{GP_U(G)^\perp})$ 在一个例子中为 1.77，另一个例子中为 1，表明其依赖于采样框架的几何结构。
• 当框架非紧时，该方法在准最优性方面优于广义采样，如第一个例子中 $\mu = 1$ 对比 $1.6$。
• 当框架条件不佳时，该方法的重构比广义采样更稳定、更准确，如第二个例子中 $\eta$ 与 $\mu$ 值更低。