[论文解读] Sampling Arbitrary Subgraphs Exactly Uniformly in Sublinear Time

Hendrik Fichtenberger, Mingze Gao+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2020

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文提出了一种亚线性时间算法，通过度数、邻居、成对和边采样查询，从大图 $G$ 中精确均匀地采样任意子图 $H$。该算法在查询和时间复杂度上分别达到 $\tilde{O}(\min\{m, m^{\rho(H)}/\#H\})$ 和 $\tilde{O}(m^{\rho(H)}/\#H)$，其中 $\rho(H)$ 是 $H$ 的分数边覆盖，$\#H$ 是 $G$ 中 $H$ 的副本数量，使其在团（cliques）情况下近乎最优。

ABSTRACT

We present a simple sublinear-time algorithm for sampling an arbitrary subgraph $H$ \emph{exactly uniformly} from a graph $G$ with $m$ edges, to which the algorithm has access by performing the following types of queries: (1) degree queries, (2) neighbor queries, (3) pair queries and (4) edge sampling queries. The query complexity and running time of our algorithm are $ ilde{O}(\min\{m, \frac{m^{ρ(H)}}{\# H}\})$ and $ ilde{O}(\frac{m^{ρ(H)}}{\# H})$, respectively, where $ρ(H)$ is the fractional edge-cover of $H$ and $\# H$ is the number of copies of $H$ in $G$. For any clique on $r$ vertices, i.e., $H=K_r$, our algorithm is almost optimal as any algorithm that samples an $H$ from any distribution that has $Ω(1)$ total probability mass on the set of all copies of $H$ must perform $Ω(\min\{m, \frac{m^{ρ(H)}}{\# H\cdot (cr)^r}\})$ queries. Together with the query and time complexities of the $(1\pm \varepsilon)$-approximation algorithm for the number of subgraphs $H$ by Assadi, Kapralov and Khanna [ITCS 2018] and the lower bound by Eden and Rosenbaum [APPROX 2018] for approximately counting cliques, our results suggest that in our query model, approximately counting cliques is "equivalent to" exactly uniformly sampling cliques, in the sense that the query and time complexities of exactly uniform sampling and randomized approximate counting are within a polylogarithmic factor of each other. This stands in interesting contrast to an analogous relation between approximate counting and almost uniformly sampling for self-reducible problems in the polynomial-time regime by Jerrum, Valiant and Vazirani [TCS 1986].

研究动机与目标

• 开发一种亚线性时间算法，从大图 $G$ 中精确均匀地采样任意固定子图 $H$。
• 解决除边或三角形等简单结构外，对任意子图进行均匀采样的挑战。
• 在一般图查询模型中，建立精确均匀采样查询和时间复杂度的紧致界。
• 探索精确均匀采样与子图近似计数（特别是团）之间的关系。

提出的方法

• 该算法基于目标子图 $H$ 的分数边覆盖进行递归分解，利用分数边覆盖 $\rho(H)$ 的概念来指导采样。
• 采用三阶段过程：先采样一个“楔形”或“星形”结构，然后扩展为 $H$ 的完整副本，通过常数大小子图的同构检查实现。
• 通过边采样查询采样潜在边，并使用度数和邻居查询高效探索局部邻域。
• 采用拒绝采样框架，确保每个 $H$ 的副本以精确的均匀概率 $1/\#H$ 被选择。
• 该方法使用一种随机化过程，通过分数边覆盖密度 $\rho(H)$ 限制查询复杂度，从而保证亚线性性能。
• 该算法假设已知边的总数 $m$，但若使用 $m$ 的 $(1+\varepsilon)$-近似值，仅以较小的精度损失即可放宽此假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否设计一种亚线性时间算法，使用标准查询类型，从大图 $G$ 中精确均匀地采样任意子图 $H$？
• RQ2 在一般图查询模型中，精确均匀采样子图 $H$ 的最优查询和时间复杂度是什么？
• RQ3 精确均匀采样的复杂度与子图近似计数问题（特别是团）之间有何关系？
• RQ4 在亚线性时间下，精确均匀采样与近似计数之间是否存在根本等价性？

主要发现

• 该算法在精确均匀采样任意子图 $H$ 时，实现了 $\tilde{O}(\min\{m, m^{\rho(H)}/\#H\})$ 的查询复杂度和 $\tilde{O}(m^{\rho(H)}/\#H)$ 的时间复杂度。
• 对于 $r$-团（$H = K_r$），该算法的复杂度近乎最优，与任何在 $K_r$ 副本上具有 $\Omega(1)$ 质量分布的算法的下界一致。
• 结果表明，在给定查询模型中，团的精确均匀采样与随机近似计数的查询和时间复杂度在多对数因子范围内彼此接近。
• 这表明在亚线性时间下，团的精确均匀采样与近似计数之间存在强烈等价性，与多项式时间下的经典 JVV 框架形成对比。
• 该算法对 $m$ 的不确定性具有鲁棒性，因为 $m$ 的 $(1+\varepsilon)$-近似值足以维持 $\varepsilon$-近似均匀性。
• 分析建立了分数边覆盖数 $\rho(H)$ 与采样复杂度之间的紧密联系，表明 $\rho(H)$ 是决定效率的关键结构参数。